Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
g(t, y)=e^{-t} \cos (\pi y).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
g(t,y)=e^{-t}\cos\bigl(\pi y\bigr).
O conteúdo principal é o conceito de derivada parcial: ao calcular \partial g/\partial t tratamos y como constante, e ao calcular \partial g/\partial y tratamos t como constante. Também vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Para obter \displaystyle \frac{\partial g}{\partial t}(t,y), vemos g(t,y) como o produto de
f(t)=e^{-t} \quad\text{e}\quad h(y)=\cos\bigl(\pi y\bigr),
onde h(y) é constante em relação a t. A derivada de f(t)=e^{-t} é f'(t)=-e^{-t}. Logo,
\frac{\partial g}{\partial t}(t,y) = f'(t)\,h(y) = -e^{-t}\,\cos\bigl(\pi y\bigr).

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}(t,y), enxergamos agora e^{-t} como constante e derivamos \cos(\pi y) em relação a y. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dy}\cos\bigl(\pi y\bigr) =-\sin\bigl(\pi y\bigr)\cdot\pi.
Multiplicando pelo fator constante e^{-t}, fica
\frac{\partial g}{\partial y}(t,y) = e^{-t}\,\bigl(-\pi\sin(\pi y)\bigr) = -\pi\,e^{-t}\,\sin\bigl(\pi y\bigr).

Resposta

\frac{\partial g}{\partial t}(t,y) = -e^{-t}\cos\bigl(\pi y\bigr), \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(t,y) = -\pi\,e^{-t}\sin\bigl(\pi y\bigr).

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