Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
F(x, y)=\int_{x}^{y} \cos \left(e^{t}\right) d t.

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x,y)=\int_{x}^{y}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt
e pede as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial F}{\partial x} e \frac{\partial F}{\partial y}. Vamos usar a regra de diferenciação de uma integral com limites variáveis (teorema fundamental do cálculo mais a regra de Leibniz).

Passo 2

Para \frac{\partial F}{\partial x}, o limite superior y é tratado como constante e o limite inferior é x. Pela regra, a contribuição do limite inferior vem com sinal negativo:
\frac{\partial}{\partial x}\int_{x}^{y}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt =-\cos\bigl(e^{x}\bigr)\cdot\frac{d x}{d x} =-\cos\bigl(e^{x}\bigr).

Passo 3

Para \frac{\partial F}{\partial y}, o limite inferior x é constante e o limite superior é y. Assim,
\frac{\partial}{\partial y}\int_{x}^{y}\cos\bigl(e^{t}\bigr)\,dt =\cos\bigl(e^{y}\bigr)\cdot\frac{d y}{d y} =\cos\bigl(e^{y}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=-\cos\bigl(e^{x}\bigr) \displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\cos\bigl(e^{y}\bigr)

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