Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
h(x, y, z)=\frac{\left.\sqrt{x}\left(y^{2}+2\right)\right)}{z^{2} y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
h(x,y,z)=\frac{\sqrt{x}\,\bigl(y^{2}+2\bigr)}{z^{2}\,y}.
O conteúdo envolvido é derivada parcial, usando regra de potência, produto e quociente. Vamos tratar uma variável de cada vez, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Para simplificar as contas, reescrevemos h como produto de potências:
h(x,y,z) = x^{\tfrac12}\,\frac{y^{2}+2}{y}\,z^{-2} = x^{\tfrac12}\,\bigl(y + 2y^{-1}\bigr)\,z^{-2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}.
Aqui y e z são constantes, e só diferenciamos x^{\tfrac12}. Pela regra de potência,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12}.
Logo,
\frac{\partial h}{\partial x} = \tfrac12\,x^{-\tfrac12}\,\bigl(y+2y^{-1}\bigr)\,z^{-2}.
Voltando à forma original em y e z,
\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\;\frac{y^{2}+2}{y}\;\frac{1}{z^{2}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}.
Aqui x e z são constantes, e diferenciamos f(y)=y+2y^{-1}. Tem-se
f'(y)=1 - 2y^{-2}.
Como h = x^{\tfrac12}\,f(y)\,z^{-2},
\frac{\partial h}{\partial y} = x^{\tfrac12}\,f'(y)\,z^{-2} = x^{\tfrac12}\,\bigl(1 - 2y^{-2}\bigr)\,z^{-2}.
Podemos reescrever em termos de y original:
\frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}}{z^{2}}\;\Bigl(1 - \frac{2}{y^{2}}\Bigr) = \frac{\sqrt{x}\,(y^{2}-2)}{y^{2}\,z^{2}}.

Passo 5

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial h}{\partial z}.
Aqui x e y são constantes, e diferenciamos z^{-2}. Pela regra de potência,
\frac{d}{dz}\bigl(z^{-2}\bigr) = -2\,z^{-3}.
Portanto,
\frac{\partial h}{\partial z} = x^{\tfrac12}\,\bigl(y+2y^{-1}\bigr)\,(-2z^{-3}) = -2\,x^{\tfrac12}\,\frac{y^{2}+2}{y}\,\frac{1}{z^{3}}.

Resposta

\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\;\frac{y^{2}+2}{y\,z^{2}}, \quad \frac{\partial h}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}\,(y^{2}-2)}{y^{2}\,z^{2}}, \quad \frac{\partial h}{\partial z} = -2\,\frac{\sqrt{x}\,(y^{2}+2)}{y\,z^{3}}.

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