Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=\operatorname{arctg}(x y).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y)=\operatorname{arctg}(x y).
Aqui vamos usar dois conhecimentos principais:
  1. A derivada de \operatorname{arctg}(u) em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arctg}(u)\bigr] =\frac{1}{1+u^{2}}.
  1. A regra da cadeia, já que u=x y depende de x e y.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Defina u(x,y)=x\,y. Então, por regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{d}{du}[\operatorname{arctg}(u)]\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial (x\,y)}{\partial x}.
Como y é tratado como constante, \partial(x\,y)/\partial x=y. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y}{1+(x\,y)^{2}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Usando a mesma ideia com u=x\,y, e agora tratando x como constante,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial (x\,y)}{\partial y} =\frac{1}{1+(x\,y)^{2}}\cdot x =\frac{x}{1+(x\,y)^{2}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{y}{1+(x\,y)^{2}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{x}{1+(x\,y)^{2}}.

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