Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
H(x, y)=\int_{x^{2}+2 x-1}^{y^{2}+\cos (y)} e^{-1 / t^{2}} d t.

Passo 1

O enunciado nos dá
H(x,y)=\int_{x^{2}+2x-1}^{\,y^{2}+\cos(y)} e^{-1/t^{2}}\,dt
e pede as derivadas parciais de primeira ordem \frac{\partial H}{\partial x} e \frac{\partial H}{\partial y}. Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra de Leibniz (cadeia aplicada aos limites de integração).

Passo 2

Definimos
a(x)=x^{2}+2x-1, \quad b(y)=y^{2}+\cos(y),
e
f(t)=e^{-1/t^{2}}.
Calculamos as derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+2x-1\bigr)=2x+2, \quad b'(y)=\frac{d}{dy}\bigl(y^{2}+\cos(y)\bigr)=2y-\sin(y).

Passo 3

A regra de Leibniz para uma integral com limites dependentes de variáveis diz que
\frac{\partial}{\partial x}\!\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)\,dt = f\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)\;-\;f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
No nosso caso, para derivar em x o limite superior b(y) é constante (não depende de x), e para derivar em y o limite inferior a(x) é constante.

Passo 4

Aplicando a regra:
Para \frac{\partial H}{\partial x} só o limite inferior varia com x, logo
\frac{\partial H}{\partial x} = -\,f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x) = -\,e^{-1/[a(x)]^{2}}\,(2x+2).
Substituindo a(x)=x^{2}+2x-1,
\frac{\partial H}{\partial x} = -(2x+2)\,\exp\!\bigl(-1/(x^{2}+2x-1)^{2}\bigr).
Para \frac{\partial H}{\partial y} só o limite superior varia com y, logo
\frac{\partial H}{\partial y} = f\bigl(b(y)\bigr)\,b'(y) = e^{-1/[b(y)]^{2}}\,(2y-\sin(y)).
Substituindo b(y)=y^{2}+\cos(y),
\frac{\partial H}{\partial y} =(2y-\sin(y))\,\exp\!\bigl(-1/(y^{2}+\cos(y))^{2}\bigr).

Resposta

\frac{\partial H}{\partial x} =-(2x+2)\,\exp\!\bigl(-1/(x^{2}+2x-1)^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial H}{\partial y} =(2y-\sin(y))\,\exp\!\bigl(-1/(y^{2}+\cos(y))^{2}\bigr).

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