Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y, z)=\frac{x y+x z}{y z-x y z}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=\frac{x\,y + x\,z}{y\,z - x\,y\,z}.
O conteúdo aqui é derivada parcial de função de três variáveis, e vamos usar a regra do quociente:
\frac{\partial}{\partial u}\Bigl(\frac{N}{D}\Bigr) =\frac{N_u\,D - N\,D_u}{D^2},
onde N=N(x,y,z) e D=D(x,y,z).

Passo 2

Definimos
N(x,y,z)=x(y+z), \qquad D(x,y,z)=yz - xyz = yz(1-x).
Calculamos as derivadas parciais de N e D:
N_x = y+z,\quad N_y = x,\quad N_z = x,
D_x = -\,y\,z,\quad D_y = z(1-x),\quad D_z = y(1-x).

Passo 3

Aplicando a regra do quociente em x:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} =\frac{(y+z)\,yz(1-x) - x(y+z)\bigl(-yz\bigr)}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2}.
No numerador fatoramos (y+z)\,yz:
(y+z)\,yz\bigl[(1-x)+1\bigr]=(y+z)\,yz.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{(y+z)\,yz}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2} =\frac{y+z}{yz\,(1-x)^2}.

Passo 4

Agora em y:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2} =\frac{x\,yz(1-x)-x(y+z)\,z(1-x)}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2}.
No numerador:
x\,z(1-x)\bigl[y-(y+z)\bigr] =-x\,z^2(1-x).
Logo
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{-x\,z^2(1-x)}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2} =-\frac{x}{y^2(1-x)}.

Passo 5

Finalmente em z:
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{N_z\,D - N\,D_z}{D^2} =\frac{x\,yz(1-x)-x(y+z)\,y(1-x)}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2}.
No numerador:
x\,y(1-x)\bigl[z-(y+z)\bigr] =-x\,y^2(1-x).
Logo
\frac{\partial f}{\partial z} =\frac{-x\,y^2(1-x)}{\bigl[yz(1-x)\bigr]^2} =-\frac{x}{z^2(1-x)}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{y+z}{y\,z\,(1-x)^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{x}{y^2\,(1-x)}, \quad \frac{\partial f}{\partial z} =-\frac{x}{z^2\,(1-x)}.

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