Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y, z)=\frac{e^{x y z}}{\operatorname{tg}(x y z)}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y,z)=\frac{e^{xyz}}{\tan(xyz)}.
Vamos usar regra da cadeia e derivadas de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Defina
u = xyz.
Então
f = \frac{e^u}{\tan u} = e^u\,\cot u.

Passo 3

Calcule a derivada de f em relação a u:
\frac{df}{du} = \frac{d}{du}\bigl(e^u\cot u\bigr) = e^u\cot u + e^u(-\csc^2u) = e^u\bigl(\cot u - \csc^2u\bigr).

Passo 4

Aplicando regra da cadeia, cada derivada parcial é
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x} = yz\;e^u\bigl(\cot u - \csc^2u\bigr),
e de modo análogo
\frac{\partial f}{\partial y} = xz\;e^u\bigl(\cot u - \csc^2u\bigr), \qquad \frac{\partial f}{\partial z} = xy\;e^u\bigl(\cot u - \csc^2u\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = yz\,e^{xyz}\bigl(\cot(xyz)-\csc^2(xyz)\bigr), \quad \frac{\partial f}{\partial y} = xz\,e^{xyz}\bigl(\cot(xyz)-\csc^2(xyz)\bigr), \quad \frac{\partial f}{\partial z} = xy\,e^{xyz}\bigl(\cot(xyz)-\csc^2(xyz)\bigr).

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