Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, t, w)=w \operatorname{arcsen}(x \sqrt{t}).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,t,w)=w\,\arcsin\bigl(x\sqrt{t}\bigr).
Para isso vamos usar a regra da cadeia e lembrar que
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Em cada derivada trataremos w ou x\sqrt{t} como constante, conforme a variável.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Defina u(x,t)=x\sqrt{t}. Então
f=w\,\arcsin(u),
logo pela cadeia
\frac{\partial f}{\partial x} = w\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Mas \partial u/\partial x=\sqrt{t} e u^2=(x\sqrt{t})^2=x^2t, portanto
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{w\,\sqrt{t}}{\sqrt{1 - x^2t}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}.
Mantemos x e w constantes e de novo u=x\sqrt{t}. Pela cadeia
\frac{\partial f}{\partial t} = w\cdot\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial t}.
Como
\frac{\partial u}{\partial t} = x\cdot\frac{1}{2\sqrt{t}} =\frac{x}{2\sqrt{t}},
segue
\frac{\partial f}{\partial t} =\frac{w}{\sqrt{1 - x^2t}}\;\frac{x}{2\sqrt{t}} =\frac{w\,x}{2\sqrt{t}\,\sqrt{1 - x^2t}}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial w}.
Aqui x e t são constantes, e f=w\cdot[\dots]. Logo
\frac{\partial f}{\partial w} =\arcsin\bigl(x\sqrt{t}\bigr).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{w\,\sqrt{t}}{\sqrt{1 - x^2t}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial t} =\frac{w\,x}{2\sqrt{t}\,\sqrt{1 - x^2t}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial w} =\arcsin\bigl(x\sqrt{t}\bigr).

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