Questão 1 - Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
g(x, y)=e^{x+y} \operatorname{sen}\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de g(x,y)=e^{x+y}\,\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr).
Para isso vamos usar:
  1. A regra do produto: se g(x,y)=A(x,y)\,B(x,y) então
    \frac{\partial g}{\partial x}=A_x\,B + A\,B_x e
    \frac{\partial g}{\partial y}=A_y\,B + A\,B_y.
  2. A derivada de e^{x+y} em relação a x ou y é ela mesma, e^{x+y}.
  3. A regra da cadeia para a função \operatorname{sen}(u), cuja derivada em u é \cos(u).
  4. As derivadas de \tfrac{x}{y}:
    \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)=\tfrac1y e
    \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)=-\tfrac{x}{y^2}.

Passo 2

Vamos calcular \displaystyle \frac{\partial g}{\partial x}.
Tomamos
A(x,y)=e^{x+y}, \qquad B(x,y)=\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).
Então
A_x = e^{x+y}, \qquad B_x = \cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial x}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\,\frac{1}{y}.
Pela regra do produto,
\frac{\partial g}{\partial x} = A_x\,B + A\,B_x = e^{x+y}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) + e^{x+y}\,\frac{1}{y}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}.
Mantendo
A_y = e^{x+y}, \qquad B_y = \cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\cdot\frac{\partial}{\partial y}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) = \cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)\,\Bigl(-\tfrac{x}{y^2}\Bigr).
Pela regra do produto,
\frac{\partial g}{\partial y} = A_y\,B + A\,B_y = e^{x+y}\,\operatorname{sen}\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr) - e^{x+y}\,\frac{x}{y^2}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr).

Resposta

\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = e^{x+y}\,\Bigl[\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) + \tfrac{1}{y}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr],
\frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = e^{x+y}\,\Bigl[\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr) - \tfrac{x}{y^2}\,\cos\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr].

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