Questão 2:
Verifique se o conjunto S=\{(1,-3,4),(3,2,1),(1,-1,2)\} \subset \mathbb{R}^{3} é um conjunto de vetores linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
v_1 = (1,-3,4),\quad v_2 = (3,2,1),\quad v_3 = (1,-1,2)
em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes. O conteúdo aqui é teoria de combinação linear e resolução do sistema homogêneo ou cálculo de determinante.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula
c_1\,v_1 + c_2\,v_2 + c_3\,v_3 = (0,0,0),
e vemos se a única solução é c_1=c_2=c_3=0.

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} c_1 + 3c_2 + c_3 = 0,\\[6pt] -3c_1 +2c_2 - c_3 = 0,\\[6pt] 4c_1 + c_2 +2c_3 = 0. \end{cases}]

Passo 4

Fazendo eliminação, da primeira equação isolamos
c_3 = -\,c_1 -3c_2.
Substituindo na segunda,
-3c_1 +2c_2 -(-c_1 -3c_2)=0 \;\Longrightarrow\; -2c_1+5c_2=0 \;\Longrightarrow\; c_2 = \frac{2}{5}\,c_1.
Então
c_3 = -\,c_1 -3\Bigl(\frac{2}{5}c_1\Bigr) = -\frac{11}{5}\,c_1.
A terceira equação cai em identidade 0=0, mostrando que c_1 é parâmetro livre.

Passo 5

Como existe solução não trivial (por exemplo c_1=5, c_2=2, c_3=-11), temos
5\,v_1 +2\,v_2 -11\,v_3 = (0,0,0),
logo os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores em S são linearmente dependentes.

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