Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços vetoriais de ?
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto (x, y, z) in R^3: z=3x e x=2y é um subespaço vetorial de R^3. Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e aplicar algumas regras básicas para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de R^3 se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição de vetores.
  3. É fechado para multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em R^3 é (0, 0, 0). Vamos ver se ele pertence ao nosso conjunto.
Para (0, 0, 0):
  • Verifica z = 3x: 0 = 3 times 0 0 = 0 ✔️
  • Verifica x = 2y: 0 = 2 times 0 0 = 0 ✔️
Então, o vetor zero está no conjunto. Primeira condição satisfeita.

Passo 4

2. Fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, e ver se a soma também está no conjunto.
Sejam (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) pertencentes ao conjunto. Então:
  • z1 = 3x1 e x1 = 2y1
  • z2 = 3x2 e x2 = 2y2
A soma é (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
Vamos verificar se z1 + z2 = 3(x1 + x2):
z1 + z2 = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2) ✔️
E se x1 + x2 = 2(y1 + y2):
x1 + x2 = 2y1 + 2y2 = 2(y1 + y2) ✔️
Então, a soma está no conjunto. Segunda condição satisfeita.

Passo 5

3. Fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto e multiplicá-lo por um escalar lambda in R, e ver se o resultado está no conjunto.
Seja (x, y, z) no conjunto, então z = 3x e x = 2y. Multiplicando por lambda:
lambda(x, y, z) = (lambda x, lambda y, lambda z).
Vamos verificar:
lambda z = lambda times 3x = 3(lambda x) ✔️
E lambda x = 2(lambda y):
lambda x = lambda times 2y = 2(lambda y) ✔️
Então, o vetor escalado também está no conjunto. Terceira condição satisfeita.

Resposta

Sim, o conjunto (x, y, z) in R^3: z=3x e x=2y é um subespaço vetorial de R^3.

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