Quais dos seguintes subconjuntos de
são subespaços vetoriais de
?
e .
e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Isso envolve entender conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais, e aplicar algumas regras básicas para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de
se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição de vetores.
- É fechado para multiplicação por escalar.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto dado.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence ao nosso conjunto.
Para
:
- Verifica
: → ✔️ - Verifica
: → ✔️
Então, o vetor zero está no conjunto. Primeira condição satisfeita.
Passo 4
2. Fechamento para adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer do conjunto e somá-los, e ver se a soma também está no conjunto.
Sejam
e
pertencentes ao conjunto. Então:
-
e -
e
A soma é
.
Vamos verificar se
:
E se
:
Então, a soma está no conjunto. Segunda condição satisfeita.
Passo 5
3. Fechamento para multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer do conjunto e multiplicá-lo por um escalar
, e ver se o resultado está no conjunto.
Seja
no conjunto, então
e
. Multiplicando por
:
Vamos verificar:
E
:
Então, o vetor escalado também está no conjunto. Terceira condição satisfeita.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço vetorial de
.