Questão 3. (2.0) Determine os domínios máximo para as funções.Represente no plano cartesiano.
z=f(x, y)=raizx y^2-x^2 y

Passo 1

O enunciado dá a função
z = f(x,y) = raizx,y^2 - x^2y
e pede o domínio máximo, ou seja, todos os pares (x,y) para os quais o radicando é não-negativo. Vamos usar o fato de que, para a raiz quadrada real, o interior deve satisfazer
x,y^2 - x^2y ;>=; 0

Passo 2

Para simplificar a análise, fatoramos o radicando:
x,y^2 - x^2y = x,y,(y - x)
Assim, a condição de domínio é
x,y,(y - x) ;>=; 0

Passo 3

As curvas críticas que fazem cada fator mudar de sinal são
x = 0, y = 0, y - x = 0;l(ou y = xr)
Elas particionam o plano em regiões onde cada fator tem sinal constante.

Passo 4

Analisamos o sinal do produto x,y,(y - x) em cada região:
1. x>0,;y>0.
x>0,;y>0 são positivos; y-x é não-negativo se e só se y>= x.
to domínio em x>0,;y>= x.
2. x>0,;y<0.
x>0 é positivo, y<0 e y-x<0; então o produto é
(+)times(-)times(-) = +.
to domínio em toda a faixa x>0,;y<0.
3. x<0,;y>0.
– Sinal (-) times (+)times(dots) dá negativo, logo não entra no domínio.
4. x<0,;y<0.
x<0,;y<0 são negativos, e y-x é não-negativo se e só se y>= x.
– Então produto (-) times (-)times(+)=+ quando y>= x.
to domínio em x<0,;y<0,;y>= x.
Além disso, como queremos x,y,(y-x)>=0, incluímos as fronteiras
x=0, y=0, y=x

Passo 5

Combinando tudo, o domínio máximo é
D = (x,y)in R^2 mid x,y,(y-x)>=0,
que pode ser descrito também como
Para x>0: & y<= 0ou y>= x, Para x<0: & x<= y<= 0, e as fronteiras x=0,;y=0,;y=x
Graficamente, são as regiões do plano limitadas pelas retas x=0, y=0 e y=x, onde o produto dos três fatores é não-negativo.

Resposta

D = l(x,y)in R^2 mid x,y,(y - x)>= 0r
No plano cartesiano, D é a união das regiões:
  • x>0 com y<=0 (região abaixo do eixo x à direita da origem),
  • x>0 com y>= x (região acima da reta y=x para x>0),
  • x<0 com x<= y<=0 (faixa entre a reta y=x e o eixo x para x<0),
incluindo as fronteiras x=0, y=0 e y=x.

Exercícios relacionados