Questão 2: Determine o elemento da linha 3 coluna 2 da matriz resultante da operação abaixo:
\left[\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 9 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 2 & 2 \\\\ 2 & 3 \\\\ 5 & 4 \end{array}\right)\right]-\left[\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 9 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right)\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão \bigl(A\,B\bigr)\;-\;\bigl(C\,D\bigr), onde as dimensões são compatíveis e o resultado é uma matriz 3\times2. Precisamos do elemento da linha 3 e coluna 2 dessa diferença. As matrizes são:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & 0 & 9 \\\\ 1 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 2 & 2 \\\\ 2 & 3 \\\\ 5 & 4 \end{pmatrix}
C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}
D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 9 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Passo 2

Para calcular o elemento (3,2) de E = A\,B usamos o produto escalar da linha 3 de A pela coluna 2 de B:
E_{32} = \sum_{k=1}^{4} A_{3k}\,B_{k2}.
A linha 3 de A é (1,2,3,3) e a coluna 2 de B é (2,2,3,4). Logo,
E_{32} = 1\cdot2 + 2\cdot2 + 3\cdot3 + 3\cdot4 = 2 + 4 + 9 + 12 = 27.

Passo 3

Para calcular o elemento (3,2) de F = C\,D tomamos o produto escalar da linha 3 de C pela coluna 2 de D:
F_{32} = \sum_{k=1}^{3} C_{3k}\,D_{k2}.
A linha 3 de C é (0,0,5) e a coluna 2 de D é (2,0,0). Portanto,
F_{32} = 0\cdot2 + 0\cdot0 + 5\cdot0 = 0.

Passo 4

O elemento (3,2) da matriz A B - C D é
(A B - C D)_{32} = E_{32} - F_{32} = 27 - 0 = 27.

Resposta

27

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