Questão 3: Determine para que valores de \alpha e \beta o sistema
\begin{cases}2 x+y+\alpha z= & 5 \\\ x+y+3 z= & 1 \\\\ 3 x+y+5 z= & \beta\end{cases}
a. possível e indeterminado.
b. impossível.

Passo 1

O sistema é
\begin{cases} 2x + y + \alpha z = 5,\\\ x + y + 3z = 1,\\\\ 3x + y + 5z = \beta. \end{cases}
Queremos classificar os casos de infinitas soluções (possível e indeterminado) e de inconsistência (impossível). Vamos usar o critério de Rouché–Capelli, comparando o posto da matriz de coeficientes com o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Calcular o determinante da matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & \alpha\\\\ 1 & 1 & 3\\\\ 3 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Temos
D = \det A =2\bigl(1\cdot5 - 1\cdot3\bigr) -1\bigl(1\cdot5 - 3\cdot3\bigr) +\alpha\bigl(1\cdot1 - 3\cdot1\bigr).
Calculando,
D = 2\cdot2 -1\cdot(-4) + \alpha\cdot(-2) =4 +4 -2\alpha =8 - 2\alpha.

Passo 3

Para o posto de A cair de 3 para 2 (caso sem solução única) é necessário
D = 0 \implies 8 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = 4.

Passo 4

Com \alpha=4, as linhas de A satisfazem
R_3 = 2\,R_1 \;-\; R_2.
Para o sistema ser consistente, a mesma combinação deve valer na coluna de constantes (5,1,\beta), ou seja,
\beta = 2\cdot5 - 1 = 9.

Passo 5

  • Se \alpha=4 e \beta=9, então
    \mathrm{rank}(A)=\mathrm{rank}(A|b)=2<3, há infinitas soluções.
  • Se \alpha=4 e \beta\neq9, então
    \mathrm{rank}(A)=2 mas \mathrm{rank}(A|b)=3, o sistema é impossível.

Resposta

a. \alpha=4 e \beta=9
b. \alpha=4 e \beta\neq9

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