Questão 6: Determine a matriz na forma escada linha equivalente à matriz
A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 2 & -1 & 2 \\\\ 2 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 5 & 5 & 0 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz “forma escada linha” (row echelon form) equivalente à matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 2\\\\ 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 1 & 1 & 3 & -1\\\\ 4 & 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}.
Vamos usar operações elementares de linha: troca de linhas, combinação linear de linhas para zerar abaixo dos pivôs, até obter uma matriz em escada.

Passo 2

Primeiro pivô está na coluna 1, mas em A a entrada (1,1)=0. Então trocamos a linha 1 com a linha 2, obtendo
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & 2\\\\ 1 & 1 & 3 & -1\\\\ 4 & 5 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o pivô \;a_{11}=2 para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac12\,\text{R}_1,\quad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - 2\,\text{R}_1.
Calculemos:
\text{R}_3 = (1,1,3,-1) - \tfrac12\,(2,1,0,0) = (0,\;0.5,\;3,\;-1),
\text{R}_4 = (4,5,5,0) - 2\,(2,1,0,0) = (0,\;3,\;5,\;0).
Fica
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 0.5 & 3 & -1\\\\ 0 & 3 & 5 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Agora o pivô da segunda linha é \;a_{22}=2. Zeramos abaixo na coluna 2:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac{0.5}{2}\,\text{R}_2 = \text{R}_3 - 0.25\,\text{R}_2, \quad \text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \tfrac{3}{2}\,\text{R}_2.
Calculando:
\text{R}_3 = (0,0.5,3,-1) - 0.25\,(0,2,-1,2) = (0,0,3.25,-1.5),
\text{R}_4 = (0,3,5,0) - 1.5\,(0,2,-1,2) = (0,0,6.5,-3).
Obtemos
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 3.25 & -1.5\\\\ 0 & 0 & 6.5 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 5

O pivô da terceira linha é \;a_{33}=3.25. Zeramos abaixo na coluna 3:
\text{R}_4 \leftarrow \text{R}_4 - \tfrac{6.5}{3.25}\,\text{R}_3 = \text{R}_4 - 2\,\text{R}_3,
logo
\text{R}_4 = (0,0,6.5,-3) - 2\,(0,0,3.25,-1.5) = (0,0,0,0).
Agora a matriz está em forma escada.

Resposta

A forma escada linha equivalente é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & \tfrac{13}{4} & -\tfrac{3}{2}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

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