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Questão:
. Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função
sabendose que o mesmo é paralelo ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = y^2 + xy $ no ponto
. Além disso, sabemos que esse plano é paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e equações de planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, e entender como elas nos ajudam a definir o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
no ponto
usando a função dada:
Então, o ponto no espaço é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = y^2 + xy $ em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
(
) é:
E a derivada parcial em relação a
(
) é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então, o vetor gradiente no ponto
é
. Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.
Passo 5
Sabemos que o plano tangente é paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $. Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais.
O vetor normal do plano $ z = 3x + 2y $ é
, porque podemos reescrever o plano como $ 3x + 2y - z = 0 $.
Já o vetor normal do nosso plano tangente é
.
Para que os planos sejam paralelos, precisa existir um número $ k $ tal que:
Resolvendo a primeira equação: $ k = 2 $
Verificando na segunda equação: $ 2k = 4 $, mas temos
, o que indica que houve um erro na nossa abordagem.
Na verdade, o vetor normal do plano tangente deve ser proporcional ao vetor normal do outro plano, mas consideramos o vetor
. Vamos ajustar isso.
Passo 6
Vamos considerar que o vetor normal do plano $ z = 3x + 2y $ é
.
Para que o plano tangente seja paralelo, seus coeficientes devem ser proporcionais. Portanto:
Isso significa:
Aqui, vemos que $ \frac{6}{3} = 2 $ e $ \frac{13}{2} = 6.5 $, que não são iguais. Isso sugere que não existe um plano tangente com essas características. Porém, como o enunciado pede para determinar o plano, devemos reconsiderar a interpretação.
Na verdade, o vetor normal do plano tangente é
, e deve ser paralelo a
. Então:
Daí:
Como $ k $ não é consistente, não há um plano tangente no ponto
que seja paralelo a $ z = 3x + 2y $.
Resposta
Não existe um plano tangente ao gráfico de $ f(x, y) = y^2 + xy $ no ponto
que seja paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $.