5 ^ a Questão:
(1,6). Determine a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=y^2+x y sabendose que o mesmo é paralelo ao plano z=3 x+2 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente ao gráfico da função $ f(x, y) = y^2 + xy $ no ponto f(x, y) = y^2 + xy . Além disso, sabemos que esse plano é paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais e equações de planos tangentes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a (1, 6) e z = 3x + 2y , e entender como elas nos ajudam a definir o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de z no ponto (1, 6) usando a função dada:
z = f(1, 6) = (6)^2 + (1)(6) = 36 + 6 = 42
Então, o ponto no espaço é (1, 6, 42).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da função $ f(x, y) = y^2 + xy $ em relação a f(x, y) = y^2 + xy e x.
A derivada parcial em relação a y ( x) é:
fx
E a derivada parcial em relação a fx = partial fpartial x = y ( y) é:
fy

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas no ponto (1, 6):
fx(1, 6) = 6
fy(1, 6) = 2(6) + 1 = 12 + 1 = 13
Então, o vetor gradiente no ponto (1, 6) é (6, 13). Esse vetor é perpendicular ao plano tangente.

Passo 5

Sabemos que o plano tangente é paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $. Para que dois planos sejam paralelos, seus vetores normais devem ser proporcionais.
O vetor normal do plano $ z = 3x + 2y $ é z = 3x + 2y , porque podemos reescrever o plano como $ 3x + 2y - z = 0 $.
Já o vetor normal do nosso plano tangente é z = 3x + 2y .
Para que os planos sejam paralelos, precisa existir um número $ k $ tal que:
(3, 2, -1)
3x + 2y - z = 0
Resolvendo a primeira equação: $ k = 2 $
Verificando na segunda equação: $ 2k = 4 $, mas temos (fx, fy, -1) = (6, 13, -1), o que indica que houve um erro na nossa abordagem.
Na verdade, o vetor normal do plano tangente deve ser proporcional ao vetor normal do outro plano, mas consideramos o vetor k . Vamos ajustar isso.

Passo 6

Vamos considerar que o vetor normal do plano $ z = 3x + 2y $ é z = 3x + 2y .
Para que o plano tangente seja paralelo, seus coeficientes devem ser proporcionais. Portanto:
(3, 2, -1)
Isso significa:
fx3 = fy2 = -1-1
Aqui, vemos que $ \frac{6}{3} = 2 $ e $ \frac{13}{2} = 6.5 $, que não são iguais. Isso sugere que não existe um plano tangente com essas características. Porém, como o enunciado pede para determinar o plano, devemos reconsiderar a interpretação.
Na verdade, o vetor normal do plano tangente é 63 = 132 = 1 , e deve ser paralelo a 63 = 2 . Então:
132 = 6.5
Daí:
(fx, fy, -1)
(3, 2, -1)
Como $ k $ não é consistente, não há um plano tangente no ponto (fx, fy, -1) = k(3, 2, -1) que seja paralelo a $ z = 3x + 2y $.

Resposta

Não existe um plano tangente ao gráfico de $ f(x, y) = y^2 + xy $ no ponto f(x, y) = y^2 + xy que seja paralelo ao plano $ z = 3x + 2y $.

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