Sem usar a regra de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{27-2 x-x^{4}}{-x^{4}+3 x-2 \sqrt{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{27-2x-x^{4}}{-x^{4}+3x-2\sqrt{2}},
que é um tipo de limite de função racional em que o grau do numerador e do denominador é o mesmo ( 4). Para resolver sem usar a regra de L’Hospital, vamos aplicar a técnica de divisão de todos os termos pelo maior grau, que aqui é x^{4}.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^{4}, obtendo
\frac{27-2x-x^{4}}{-x^{4}+3x-2\sqrt{2}} = \frac{\displaystyle\frac{27}{x^{4}}-\frac{2x}{x^{4}}-1}{\displaystyle-1+\frac{3x}{x^{4}}-\frac{2\sqrt{2}}{x^{4}}} = \frac{\displaystyle\frac{27}{x^{4}}-\frac{2}{x^{3}}-1}{\displaystyle-1+\frac{3}{x^{3}}-\frac{2\sqrt{2}}{x^{4}}}.

Passo 3

À medida que x\to+\infty, os termos \tfrac{27}{x^{4}}, \tfrac{2}{x^{3}}, \tfrac{3}{x^{3}} e \tfrac{2\sqrt{2}}{x^{4}} tendem a zero. Logo o quociente tende a
\frac{0-0-1}{-1+0-0} =\frac{-1}{-1} =1.

Resposta

1

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