Questão 1: Determine a equação da superfície cilíndrica com diretriz \mathbf{C} e reta geratriz r. Esboce a superfície.
\mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}9 z^{2}+4 x^{2}-36=0 \\\ y=0\end{array}\right. e \mathbf{r}:\left\{\begin{array}{c}x=0 \\\ y=2+t \\\ z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a diretriz \mathbf{C}, que é uma elipse no plano y=0 definida por
9\,z^{2} + 4\,x^{2} - 36 = 0,
e a reta geratriz \mathbf{r} dada por
x = 0,\quad y = 2 + t,\quad z = 0.
O que queremos é o cilindro gerado ao deslizar a reta \mathbf{r} ao longo da curva \mathbf{C}, ou seja, todas as retas paralelas a \mathbf{r} que passam por pontos de \mathbf{C}.

Passo 2

Identificamos a direção das geratrizes observando \mathbf{r}. Como \mathbf{r}(t)=(0,\,2+t,\,0), seu vetor diretor é
\mathbf{v} = (0,\,1,\,0).

Passo 3

Num cilindro cujas geratrizes são paralelas a \mathbf{v}, todo ponto (x,y,z) da superfície pode ser escrito como
(x,y,z) \;=\; (x_{0},\,0,\,z_{0}) \;+\; t\,(0,1,0),
onde (x_{0},0,z_{0}) pertence à elipse \mathbf{C}. Deste modo obtemos
x = x_{0}, \quad z = z_{0},
e a condição de pertencer ao cilindro reduz-se a exigir que (x_{0},z_{0})=(x,z) satisfaça a equação de \mathbf{C}.

Passo 4

Substituindo x_{0}=x e z_{0}=z na equação de \mathbf{C} obtemos a equação implícita da superfície cilíndrica:
9\,z^{2} + 4\,x^{2} - 36 = 0.
Rearranjando, fica
4\,x^{2} + 9\,z^{2} = 36.

Passo 5

O esboço é um cilindro cujo eixo é paralelo ao eixo y. A seção transversal no plano y=\mathrm{const} é a elipse
\frac{x^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{4} = 1,
repetida para todos os valores de y.

Resposta

4\,x^{2} + 9\,z^{2} = 36.

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