Questão 1: Determine a equação da superfície cilíndrica com diretriz \mathbf{C} e reta geratriz r. Esboce a superfície. \mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}9 z^{2}+4 x^{2}-36=0 \\\ y=0\end{array}\right. e \mathbf{r}:\left\{\begin{array}{c}x=0 \\\ y=2+t \\\ z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá a diretriz \mathbf{C}, que é uma elipse no plano y=0 definida por
9\,z^{2} + 4\,x^{2} - 36 = 0,
e a reta geratriz \mathbf{r} dada por
x = 0,\quad y = 2 + t,\quad z = 0.
O que queremos é o cilindro gerado ao deslizar a reta \mathbf{r} ao longo da curva \mathbf{C}, ou seja, todas as retas paralelas a \mathbf{r} que passam por pontos de \mathbf{C}.
Passo 2
Identificamos a direção das geratrizes observando \mathbf{r}. Como \mathbf{r}(t)=(0,\,2+t,\,0), seu vetor diretor é
\mathbf{v} = (0,\,1,\,0).
Passo 3
Num cilindro cujas geratrizes são paralelas a \mathbf{v}, todo ponto (x,y,z) da superfície pode ser escrito como