Questão 2: Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva \mathbf{C} em torno do eixo indicado. Esboce a superfície.
\mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}x^{2}-2 z^{2}=1 \\\ y=0\end{array}\right. eixo de revolução O x.

Passo 1

O enunciado dá a curva C no plano y=0 definida por
x^{2}-2\,z^{2}=1
e pede a superfície obtida ao girar C em torno do eixo Ox. O conteúdo principal é o conceito de superfície de revolução e reconhecimento de quádricas.

Passo 2

Ao girar um ponto (x,0,z) em torno de Ox, a coordenada z gera um círculo de raio
r=\sqrt{y^{2}+z^{2}}.
Substituímos z^{2} por r^{2} na equação original, obtendo
x^{2}-2\,r^{2}=1.

Passo 3

Voltando a coordenadas (x,y,z) com r^{2}=y^{2}+z^{2}, a superfície satisfaz
x^{2}-2\bigl(y^{2}+z^{2}\bigr)=1.
Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo x.

Passo 4

Para cada plano x=x_{0} com \lvert x_{0}\rvert\ge1, a seção é um círculo de raio
\sqrt{\frac{x_{0}^{2}-1}{2}},
e não existem pontos quando \lvert x_{0}\rvert<1. O esboço mostra duas “copas” circulares, uma para x\ge1 e outra para x\le-1, simétricas em relação à origem.

Resposta

A superfície de revolução é o hiperbolóide de duas folhas de equação
x^{2}-2\,y^{2}-2\,z^{2}=1.
Esboço: duas “copas” circulares abrindo-se para +\!x e para -\!x, começando em \lvert x\rvert=1.

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