Questão 2: Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo indicado. Esboce a superfície.
eixo de revolução
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
no plano
definida por
e pede a superfície obtida ao girar
em torno do eixo
. O conteúdo principal é o conceito de superfície de revolução e reconhecimento de quádricas.
Passo 2
Ao girar um ponto
em torno de
, a coordenada
gera um círculo de raio
Substituímos
por
na equação original, obtendo
Passo 3
Voltando a coordenadas
com
, a superfície satisfaz
Essa é a equação de um hiperbolóide de duas folhas cujo eixo principal é o eixo
.
Passo 4
Para cada plano
com
, a seção é um círculo de raio
e não existem pontos quando
. O esboço mostra duas “copas” circulares, uma para
e outra para
, simétricas em relação à origem.
Resposta
A superfície de revolução é o hiperbolóide de duas folhas de equação
Esboço: duas “copas” circulares abrindo-se para
e para
, começando em
.