Questão 2: Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva \mathbf{C} em torno do eixo indicado. Esboce a superfície.
\mathbf{C}:\left\{\begin{array}{c}x^{2}-2 z^{2}=1 \\\ y=0\end{array} \quad\right. eixo de revolução O z.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a curva \mathbf{C} no plano y=0 descrita por
x^{2}-2z^{2}=1,\quad y=0
e queremos a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo Oz. O conteúdo é revolução de curvas: basta perceber que, ao rodar em torno de Oz, a coordenada x “varre” tanto x quanto y, de modo que aparece x^{2}+y^{2} no lugar de x^{2}.

Passo 2

Partindo da equação original
x^{2}-2z^{2}=1
e realizando a revolução, substituímos
x^{2}\longrightarrow x^{2}+y^{2},
pois todos os pontos de abscissa \pm x geram um círculo de raio \lvert x\rvert no plano y=0. Assim obtemos
x^{2}+y^{2}-2z^{2}=1.

Passo 3

Essa equação define um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno de Oz. Para cada plano horizontal z=\text{const} temos uma seção
x^{2}+y^{2}=1+2z^{2},
ou seja, círculos de raio
r(z)=\sqrt{1+2z^{2}},
que cresce à medida que \lvert z\rvert aumenta.

Passo 4

Para esboçar, basta desenhar círculos de raios iguais a \sqrt{1+2z^{2}} nos planos z= constantes. No plano z=0 o raio vale 1 e, à medida que \lvert z\rvert cresce, os círculos alargam-se, resultando no perfil típico de um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

x^{2}+y^{2}-2z^{2}=1.

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