Questão 2: Determine a equação da superfície de revolução gerada pela rotação da curva
em torno do eixo indicado. Esboce a superfície.
eixo de revolução
.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a curva
no plano
descrita por
e queremos a superfície obtida ao girar essa curva em torno do eixo
. O conteúdo é revolução de curvas: basta perceber que, ao rodar em torno de
, a coordenada
“varre” tanto
quanto
, de modo que aparece
no lugar de
.
Passo 2
Partindo da equação original
e realizando a revolução, substituímos
pois todos os pontos de abscissa
geram um círculo de raio
no plano
. Assim obtemos
Passo 3
Essa equação define um hiperbolóide de uma folha de revolução em torno de
. Para cada plano horizontal
temos uma seção
ou seja, círculos de raio
que cresce à medida que
aumenta.
Passo 4
Para esboçar, basta desenhar círculos de raios iguais a
nos planos
constantes. No plano
o raio vale
e, à medida que
cresce, os círculos alargam-se, resultando no perfil típico de um hiperbolóide de uma folha.