Questão 1: Determine e esboce
a curva de nivel da função f(x, y)=9-x^{2}-y^{2}.

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x,y)=9-x^{2}-y^{2} e pede para determinar e esboçar a(s) curva(s) de nível.
Informações relevantes dadas: a expressão de f(x,y) e a instrução para obter as curvas de nível (isto é, os conjuntos onde f(x,y) é constante).
Pergunta explícita: encontrar a equação das curvas de nível (para uma constante qualquer) e descrever/representar graficamente essas curvas.

Passo 2

Definição prática de curva de nível (passo-a-passo didático): para uma constante c fixa, a curva de nível associada a c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Isto significa que devemos resolver a equação \;9-x^{2}-y^{2}=c\; em termos de x e y. Aqui c é qualquer número real que represente o valor da função sobre a curva.

Passo 3

Vamos escrever a equação da curva de nível substituindo f(x,y)=c. Começamos por
9-x^{2}-y^{2}=c.
Agora isolamos os termos quadráticos:
x^{2}+y^{2}=9-c.
Mostrei passo a passo: some x^{2}+y^{2} em ambos os lados e subtraia c em ambos os lados para chegar à forma acima.

Passo 4

Interpretação geométrica da equação obtida: a equação
x^{2}+y^{2}=9-c
é a equação padrão de um círculo centrado na origem (0,0) com raio
r=\sqrt{9-c}.
Explicando as variáveis: x e y são as coordenadas no plano; c é o valor da função na curva; r é o raio do círculo resultante. Note que exige-se r\ge 0, isto é, 9-c\ge 0, logo
c\le 9.
Para c>9 não há pontos reais que satisfaçam a equação (nenhuma curva de nível real). Para c=9 temos r=0, ou seja, a curva degenera num ponto: (0,0). Para c<9 obtemos círculos de raio positivo.

Passo 5

Exemplos numéricos (para você praticar e visualizar):
  • Se c=9, então x^{2}+y^{2}=0 e o conjunto é o ponto (0,0).
  • Se c=8, então x^{2}+y^{2}=1 e o raio é r=\sqrt{1}=1.
  • Se c=0, então x^{2}+y^{2}=9 e o raio é r=\sqrt{9}=3.
  • Se c=-7, então x^{2}+y^{2}=16 e o raio é r=\sqrt{16}=4.
    Mostrei como calcular r em cada caso: plugue c em r=\sqrt{9-c}.

Passo 6

Como esboçar as curvas de nível no papel (instruções práticas):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (0,0).
  2. Para vários valores de c\le 9 (por exemplo c=9,8,5,0,-7) calcule r=\sqrt{9-c} e desenhe círculos centrados em (0,0) com esses raios.
  3. Coloque rótulos indicando o valor de c em cada círculo. Lembrete útil: quanto maior c, menor o raio (pois r=\sqrt{9-c}); quanto menor c, maior o raio. Isso significa que as curvas de nível são círculos concêntricos e os valores de f diminuem ao mover-se do centro para fora.

Passo 7

Resumo conceitual rápido para a prova (memorização prática): cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio \sqrt{9-c}; existem curvas reais somente para c\le 9; c=9 dá o ponto central.

Resposta

Para uma constante c: x^{2}+y^{2}=9-c (curva: círculo centrado em (0,0) com raio r=\sqrt{9-c}), válido somente para c\le 9.
Para c=9: ponto (0,0).
Para c>9: nenhuma curva de nível real.

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