Questão 1: Determine e esboce
a curva de nivel da função
.
a curva de nivel da função
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede para determinar e esboçar a(s) curva(s) de nível.
Informações relevantes dadas: a expressão de e a instrução para obter as curvas de nível (isto é, os conjuntos onde
é constante).
Pergunta explícita: encontrar a equação das curvas de nível (para uma constante qualquer) e descrever/representar graficamente essas curvas.
Informações relevantes dadas: a expressão de
Pergunta explícita: encontrar a equação das curvas de nível (para uma constante qualquer) e descrever/representar graficamente essas curvas.
Passo 2
Definição prática de curva de nível (passo-a-passo didático): para uma constante
fixa, a curva de nível associada a
é o conjunto de pontos
tais que
Isto significa que devemos resolver a equação
em termos de
e
. Aqui
é qualquer número real que represente o valor da função sobre a curva.
Passo 3
Vamos escrever a equação da curva de nível substituindo
. Começamos por
Agora isolamos os termos quadráticos:
Mostrei passo a passo: some
em ambos os lados e subtraia
em ambos os lados para chegar à forma acima.
Passo 4
Interpretação geométrica da equação obtida: a equação
é a equação padrão de um círculo centrado na origem
com raio
Explicando as variáveis:
e
são as coordenadas no plano;
é o valor da função na curva;
é o raio do círculo resultante. Note que exige-se
, isto é,
, logo
Para
não há pontos reais que satisfaçam a equação (nenhuma curva de nível real). Para
temos
, ou seja, a curva degenera num ponto:
. Para
obtemos círculos de raio positivo.
Passo 5
Exemplos numéricos (para você praticar e visualizar):
- Se
, então e o conjunto é o ponto . - Se
, então e o raio é . - Se
, então e o raio é . - Se
, então e o raio é .
Mostrei como calcularem cada caso: plugue em .
Passo 6
Como esboçar as curvas de nível no papel (instruções práticas):
- Desenhe os eixos
e e marque o ponto . - Para vários valores de
(por exemplo ) calcule e desenhe círculos centrados em com esses raios. - Coloque rótulos indicando o valor de
em cada círculo. Lembrete útil: quanto maior , menor o raio (pois ); quanto menor , maior o raio. Isso significa que as curvas de nível são círculos concêntricos e os valores de diminuem ao mover-se do centro para fora.
Passo 7
Resumo conceitual rápido para a prova (memorização prática): cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
; existem curvas reais somente para
;
dá o ponto central.
Resposta
Para uma constante
:
(curva: círculo centrado em
com raio
), válido somente para
.
Para : ponto
.
Para : nenhuma curva de nível real.
Para
Para