Questão 2.
Mostre que a função f(x, y)=\frac{x^{2} y^{2}}{x+y} satisfaz a equação
x \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=3 f(x, y), \quad \forall(x, y) \neq(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=\frac{x^{2}y^{2}}{x+y}
e pede para mostrar que
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\,f(x,y).
Vamos usar cálculo de derivadas parciais (regra do produto e regra da cadeia) e simplificação algébrica.

Passo 2

Escrevendo
f(x,y)=x^{2}y^{2}\,(x+y)^{-1},
aplicamos a regra do produto e da cadeia para obter
\frac{\partial f}{\partial x} =2x\,y^{2}\,(x+y)^{-1} +x^{2}y^{2}\,\bigl(-1\bigr)\,(x+y)^{-2}\cdot1 =\frac{2x\,y^{2}(x+y)-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}} =\frac{x\,y^{2}(x+2y)}{(x+y)^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =2y\,x^{2}\,(x+y)^{-1} +x^{2}y^{2}\,\bigl(-1\bigr)\,(x+y)^{-2}\cdot1 =\frac{2y\,x^{2}(x+y)-x^{2}y^{2}}{(x+y)^{2}} =\frac{x^{2}y\,(2x+y)}{(x+y)^{2}}.

Passo 3

Agora calculamos
x\,\frac{\partial f}{\partial x} +y\,\frac{\partial f}{\partial y} =x\;\frac{x\,y^{2}(x+2y)}{(x+y)^{2}} +y\;\frac{x^{2}y\,(2x+y)}{(x+y)^{2}} =\frac{x^{2}y^{2}(x+2y)+x^{2}y^{2}(2x+y)}{(x+y)^{2}} =\frac{x^{2}y^{2}(3x+3y)}{(x+y)^{2}} =\frac{3\,x^{2}y^{2}(x+y)}{(x+y)^{2}} =3\,\frac{x^{2}y^{2}}{x+y} =3\,f(x,y).

Resposta

A identidade
x\,\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\,\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3\,f(x,y)
está comprovada.

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