Simplifica as expressões
\frac{2}{x y}-\frac{3 y^{2}-x^{2}}{x y^{3}}+\frac{x y+y^{2}}{x^{2} y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma de frações algébricas
\frac{2}{x y}\;-\;\frac{3 y^{2}-x^{2}}{x y^{3}}\;+\;\frac{x y+y^{2}}{x^{2} y^{2}}.
O conteúdo é manipulação de frações com variáveis, e o que precisamos é colocar tudo sobre o mesmo denominador e depois combinar termos.

Passo 2

Identificamos os denominadores:
x y,\quad x y^{3},\quad x^{2}y^{2}.
O mínimo múltiplo comum desses denominadores é
x^{2}y^{3}.

Passo 3

Reescrevemos cada termo com denominador comum x^{2}y^{3}:
\frac{2}{x y}=\frac{2\cdot x\,y^{2}}{x^{2}y^{3}},\quad -\frac{3y^{2}-x^{2}}{x y^{3}}=-\frac{x\,(3y^{2}-x^{2})}{x^{2}y^{3}},\quad \frac{x y+y^{2}}{x^{2}y^{2}}=\frac{(x y+y^{2})\,y}{x^{2}y^{3}}.

Passo 4

Agora somamos os numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{2x y^{2}-x(3y^{2}-x^{2})+(x y^{2}+y^{3})}{x^{2}y^{3}}.
Expandindo e combinando:
2x y^{2}-3x y^{2}+x^{3}+x y^{2}+y^{3} =(2x-3x+x)\,y^{2}+x^{3}+y^{3} =0\cdot y^{2}+x^{3}+y^{3} =x^{3}+y^{3}.
Logo a soma dá
\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}y^{3}}.

Passo 5

Por fim, podemos dividir cada termo:
\frac{x^{3}}{x^{2}y^{3}}+\frac{y^{3}}{x^{2}y^{3}} =\frac{x}{y^{3}}+\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

\frac{x}{y^{3}}+\frac{1}{x^{2}}.

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