Questão 1.
(1,0 pt) Determine as soluções para
\left\{\begin{aligned} w^{\prime}(\theta) & =\cos (\theta) e^{\theta}, \quad \theta \in(-\pi / 2, \pi / 2) \\\ w(\pi / 4) & =1 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
\begin{cases} w'(\theta)=\cos(\theta)\,e^\theta, & \theta\in(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2),\\\ w(\tfrac\pi4)=1. \end{cases}
Isto é uma EDO de primeira ordem cuja solução encontra-se integrando w'(\theta) e depois ajustando a constante pela condição inicial.

Passo 2

Como w'(\theta)=\cos(\theta)e^\theta, temos
w(\theta)=\int \cos(\theta)e^\theta\,d\theta + C.

Passo 3

Calculemos
I=\int e^\theta\cos(\theta)\,d\theta.
Usando integração por partes: seja u=e^\theta, dv=\cos(\theta)\,d\theta. Então du=e^\theta\,d\theta e v=\sin(\theta), de modo que
I=e^\theta\sin(\theta)-\int e^\theta\sin(\theta)\,d\theta.
Para \displaystyle\int e^\theta\sin(\theta)\,d\theta aplicamos partes de novo com u=e^\theta, dv=\sin(\theta)\,d\theta, obtendo
\int e^\theta\sin(\theta)\,d\theta=-e^\theta\cos(\theta)+\int e^\theta\cos(\theta)\,d\theta =-e^\theta\cos(\theta)+I.
Substituindo na expressão de I:
I=e^\theta\sin(\theta)-\bigl(-e^\theta\cos(\theta)+I\bigr) =e^\theta\sin(\theta)+e^\theta\cos(\theta)-I,
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2I=e^\theta\bigl(\sin(\theta)+\cos(\theta)\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I=\frac{e^\theta\bigl(\sin(\theta)+\cos(\theta)\bigr)}{2}.

Passo 4

Portanto a solução geral é
w(\theta) =\frac{e^\theta\bigl(\sin(\theta)+\cos(\theta)\bigr)}{2}+C.
Para ajustar C, usamos w(\tfrac\pi4)=1. Note que
\sin\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\cos\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=\frac{\sqrt2}{2},
então
1 =w\bigl(\tfrac\pi4\bigr) =\frac{e^{\pi/4}\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)}{2}+C =\frac{e^{\pi/4}\sqrt2}{2}+C =\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2}+C.
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C=1-\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2}.

Resposta

\boxed{ w(\theta) =\frac{e^\theta\bigl(\sin(\theta)+\cos(\theta)\bigr)}{2} \;+\;1-\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt2} }.

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