Questão 2.
( 0,5 \mathrm{pt} ) Defina o que é uma EDO linear.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é uma EDO (equação diferencial ordinária) linear. O conteúdo aqui é identificação da linearidade em equações diferenciais: vamos precisar conhecer a forma geral de uma EDO de ordem n, entender o que são os coeficientes e o termo independente.

Passo 2

Uma EDO é dita linear de ordem n quando a função incógnita y(x) e suas derivadas aparecem apenas em termos lineares, ou seja, sem produtos ou potências entre elas. A forma geral é
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
onde
  1. y^{(k)} é a k-ésima derivada de y em relação a x,
  2. a_i(x) (para i=0,1,\dots,n) e g(x) são funções dadas, normalmente contínuas,
  3. não há termos como \bigl(y'\bigr)^2, y\cdot y'' ou \sin(y); tudo é linear em y e suas derivadas.
Se g(x)=0, a EDO é dita homogênea; caso contrário, é não homogênea.

Resposta

Uma EDO é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = g(x),
com a_i e g funções dadas e sem produtos ou potências de y ou de suas derivadas.

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