Questão 3.6 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo.
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto
, supondo-se aqui que
e
.
b. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto
b. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- A velocidade do escoamento é dada por
com
O enunciado pede três coisas:
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto supondo
e
.
b. Encontrar a equação do vetor vorticidade e determinar as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontrar todas as componentes (coordenadas) do tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto
b. Encontrar a equação do vetor vorticidade e determinar as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontrar todas as componentes (coordenadas) do tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
Informações numéricas para (a):
e ponto
.
Passo 2
Parte (a): definição e cálculo da aceleração convectiva (material) e seu módulo.
Primeiro um pouco de teoria (didática e passo a passo):
- Em escoamentos estacionários (sem dependência explícita do tempo) a aceleração material é dada apenas pela parte convectiva:
Isto significa: aplique o operador
em cada componente da velocidade. Em componentes cartesianas:
Aqui
e
são as componentes da velocidade ao longo de
e
;
é a derivada parcial de
em relação a
, etc.
Agora apliquei isso ao problema com os parâmetros dados. Primeiro calcule as componentes
e
com
e
:
Calcule as derivadas parciais necessárias:
Agora compondo a aceleração por fórmulas acima:
Agora avalie em
:
O vetor aceleração no ponto vale
. O módulo é
Pequena interpretação prática: o termo convectivo “multiplica” as derivadas espaciais pelas componentes locais de velocidade; por isso, mesmo campos lineares de velocidade podem produzir aceleração não nula.
Passo 3
Parte (b): vorticidade (rotaçao local do fluido) e condições para irrotacionalidade e incompressibilidade simultâneas.
Teoria necessária (didática):
- Para um campo de velocidade em 2D
- Em 2D a vorticidade tem apenas componente na direção
(fora do plano):
- O escoamento é irrotacional quando
(ou seja ). - O escoamento é incompressível quando
, onde
Agora calculemos em termos dos parâmetros gerais
.
Derivadas parciais gerais (extraídas de
e
):
A vorticidade é então
Simplificando,
Portanto a equação do vetor vorticidade é
Condição de irrotacionalidade:
, ou seja
Condição de incompressibilidade:
, isto é
Para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo, ambas as equações devem valer simultaneamente. Resolvendo o sistema linear
podemos, por exemplo, eliminar
em função de
ou vice-versa. Uma forma explícita das soluções é:
que satisfazem as duas equações para qualquer
. Alternativamente, isolando
a partir da primeira equação:
e substituindo na segunda obtém-se a relação entre
e
:
Ambas as formas são equivalentes; elas descrevem as condições necessárias (e suficientes) nos parâmetros para que o campo seja simultaneamente irrotacional e incompressível.]
Passo 4
Parte (c): componentes do tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
Teoria (didática):
- O tensor taxa de deformação (também chamado tensor de taxa de deformação ou tensor de extensão) é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
- Em 2D, com
(componente ) e (componente ), as componentes independentes são:
Usando as derivadas parciais já obtidas:
Logo as componentes do tensor são
Estas são todas as coordenadas do tensor taxa de deformação em coordenadas cartesianas para o campo dado.
Resposta
(a)
(b)
Condição irrotacional:
Condição incompressível:
Condições simultâneas (equivalentes): (ou alternativamente
com
).
Condição irrotacional:
Condição incompressível:
Condições simultâneas (equivalentes):
(c) Componentes do tensor taxa de deformação: