Questão 3.6 A equação geral de um campo de velocidade é dada abaixo.
V(x, y)=\left[\left(a_{1}+a_{2}\right) x+\left(1-b_{1}\right) y\right] i+\left[\left(a_{2}-a_{1}\right) x+2 b_{1} y\right] j
A respeito deste escoamento responda ao que se pede:
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto (x, y)=(2,-1), supondo-se aqui que a_{1}=a_{2} =1 e \mathrm{b}_{1}=2.
b. Encontre a equação do vetor vorticidade e determine, se possível, as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontre todas as coordenadas do tensor taxa de deformação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • A velocidade do escoamento é dada por
V(x,y)=u(x,y)\,i+v(x,y)\,j
com
u(x,y)=\bigl(a_{1}+a_{2}\bigr)x+\bigl(1-b_{1}\bigr)y, \qquad v(x,y)=\bigl(a_{2}-a_{1}\bigr)x+2b_{1}y.
O enunciado pede três coisas:
a. Determinar o módulo do vetor aceleração no ponto (x,y)=(2,-1) supondo a_{1}=a_{2}=1 e b_{1}=2.
b. Encontrar a equação do vetor vorticidade e determinar as condições necessárias para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo.
c. Encontrar todas as componentes (coordenadas) do tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
Informações numéricas para (a): a_{1}=1,\\ a_{2}=1,\\ b_{1}=2, e ponto (2,-1).

Passo 2

Parte (a): definição e cálculo da aceleração convectiva (material) e seu módulo.
Primeiro um pouco de teoria (didática e passo a passo):
  • Em escoamentos estacionários (sem dependência explícita do tempo) a aceleração material é dada apenas pela parte convectiva:
\mathbf{a}=(\mathbf{V}\cdot\nabla)\mathbf{V}.
Isto significa: aplique o operador \mathbf{V}\cdot\nabla = u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y} em cada componente da velocidade. Em componentes cartesianas:
\mathbf{a} = \Bigl(u\,\frac{\partial u}{\partial x}+v\,\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)\,i +\Bigl(u\,\frac{\partial v}{\partial x}+v\,\frac{\partial v}{\partial y}\Bigr)\,j.
Aqui u e v são as componentes da velocidade ao longo de x e y; \partial u/\partial x é a derivada parcial de u em relação a x, etc.
Agora apliquei isso ao problema com os parâmetros dados. Primeiro calcule as componentes u e v com a_{1}=a_{2}=1 e b_{1}=2:
u(x,y)=(1+1)x+(1-2)y=2x-y, \qquad v(x,y)=(1-1)x+2\cdot2\,y=0\cdot x+4y=4y.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=2,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-1, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=4.
Agora compondo a aceleração por fórmulas acima:
a_x = u\,u_x+v\,u_y = (2x-y)\cdot 2 + (4y)\cdot(-1)=4x-2y-4y=4x-6y,
a_y = u\,v_x+v\,v_y = (2x-y)\cdot 0 + (4y)\cdot 4 = 16y.
Agora avalie em (x,y)=(2,-1):
a_x(2,-1)=4\cdot 2 -6\cdot(-1)=8+6=14, \qquad a_y(2,-1)=16\cdot(-1)=-16.
O vetor aceleração no ponto vale \mathbf{a}=(14)\,i+(-16)\,j. O módulo é
\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14^{2}+(-16)^{2}}=\sqrt{196+256}=\sqrt{452}=2\sqrt{113}.
Pequena interpretação prática: o termo convectivo “multiplica” as derivadas espaciais pelas componentes locais de velocidade; por isso, mesmo campos lineares de velocidade podem produzir aceleração não nula.

Passo 3

Parte (b): vorticidade (rotaçao local do fluido) e condições para irrotacionalidade e incompressibilidade simultâneas.
Teoria necessária (didática):
  • Para um campo de velocidade em 2D \mathbf{V}=u\,i+v\,j\), a vorticidade é o rotor (rotacional) de \(\mathbf{V}\): \[\boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{V}.
  • Em 2D a vorticidade tem apenas componente na direção z (fora do plano):
\boldsymbol{\omega}=(0,0,\omega_z), \qquad \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}.
  • O escoamento é irrotacional quando \boldsymbol{\omega}=\mathbf{0} (ou seja \omega_z=0).
  • O escoamento é incompressível quando \nabla\cdot\mathbf{V}=0, onde
\nabla\cdot\mathbf{V}=\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}.
Agora calculemos em termos dos parâmetros gerais a_{1},a_{2},b_{1}.
Derivadas parciais gerais (extraídas de u e v):
\frac{\partial u}{\partial x}=a_{1}+a_{2}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=1-b_{1},
\frac{\partial v}{\partial x}=a_{2}-a_{1}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2b_{1}.
A vorticidade é então
\boldsymbol{\omega}=(0,0,\omega_z), \qquad \omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=(a_{2}-a_{1})-(1-b_{1}).
Simplificando,
\omega_z = a_{2}-a_{1}+b_{1}-1.
Portanto a equação do vetor vorticidade é
\boldsymbol{\omega}=\bigl(0,0,a_{2}-a_{1}+b_{1}-1\bigr).
Condição de irrotacionalidade: \omega_z=0, ou seja
a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0.
Condição de incompressibilidade: \nabla\cdot\mathbf{V}=0, isto é
(a_{1}+a_{2})+2b_{1}=0.
Para que o escoamento seja irrotacional e incompressível ao mesmo tempo, ambas as equações devem valer simultaneamente. Resolvendo o sistema linear
\begin{cases} a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0,\\[4pt] a_{1}+a_{2}+2b_{1}=0, \end{cases}
podemos, por exemplo, eliminar a_{1}\] e \(a_{2} em função de b_{1} ou vice-versa. Uma forma explícita das soluções é:
a_{1}=-\dfrac{1+b_{1}}{2},\qquad a_{2}=\dfrac{1-3b_{1}}{2},
que satisfazem as duas equações para qualquer b_{1}. Alternativamente, isolando b_{1} a partir da primeira equação:
b_{1}=1-a_{2}+a_{1},
e substituindo na segunda obtém-se a relação entre a_{1} e a_{2}:
a_{2}=3a_{1}+2.
Ambas as formas são equivalentes; elas descrevem as condições necessárias (e suficientes) nos parâmetros para que o campo seja simultaneamente irrotacional e incompressível.]

Passo 4

Parte (c): componentes do tensor taxa de deformação (tensor simétrico dos gradientes de velocidade).
Teoria (didática):
  • O tensor taxa de deformação (também chamado tensor de taxa de deformação ou tensor de extensão) é a parte simétrica do gradiente de velocidade:
D_{ij}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\Bigr).
  • Em 2D, com u_1=u (componente x) e u_2=v (componente y), as componentes independentes são:
D_{xx}=\frac{\partial u}{\partial x},\qquad D_{yy}=\frac{\partial v}{\partial y},\qquad D_{xy}=D_{yx}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr).
Usando as derivadas parciais já obtidas:
\frac{\partial u}{\partial x}=a_{1}+a_{2}, \qquad \frac{\partial v}{\partial y}=2b_{1}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y}=1-b_{1}, \qquad \frac{\partial v}{\partial x}=a_{2}-a_{1}.
Logo as componentes do tensor são
D_{xx}=a_{1}+a_{2}, \qquad D_{yy}=2b_{1}, \qquad D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{2}-a_{1}+1-b_{1}\bigr).
Estas são todas as coordenadas do tensor taxa de deformação em coordenadas cartesianas para o campo dado.

Resposta

(a) \lVert\mathbf{a}(2,-1)\rVert=2\sqrt{113}.
(b) \boldsymbol{\omega}=\bigl(0,0,a_{2}-a_{1}+b_{1}-1\bigr).
Condição irrotacional: a_{2}-a_{1}+b_{1}-1=0.
Condição incompressível: a_{1}+a_{2}+2b_{1}=0.
Condições simultâneas (equivalentes): a_{1}=-(1+b_{1})/2,\\ a_{2}=(1-3b_{1})/2 (ou alternativamente a_{2}=3a_{1}+2 com b_{1}=1-a_{2}+a_{1}).
(c) Componentes do tensor taxa de deformação:
D_{xx}=a_{1}+a_{2},\qquad D_{yy}=2b_{1},\qquad D_{xy}=D_{yx}=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{2}-a_{1}+1-b_{1}\bigr).

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