Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. A função fornecida é
. Informações relevantes: a função é um polinômio de grau
com termos
,
e constante
. O que se quer: decidir entre as opções “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.
Passo 2
Definições (essas são as regras que a gente usa na prova):
- Uma função é par se, para todo
do domínio, vale . Intuitivamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo . - Uma função é ímpar se, para todo
do domínio, vale . Intuitivamente, o gráfico é simétrico em relação à origem.
Vou usar essas duas igualdades como teste direto: calculare comparar com e com .
Passo 3
Calcular
substituindo
por
em
:
Agora simplifico cada termo:
logo
Passo 4
Comparo
com
para testar paridade:
Para ser par precisaríamos de
. Observando termo a termo,
e
em geral, então
. Portanto a função não é par.
Passo 5
Agora testo ímparidade comparando
com
. Primeiro calculo
:
Compare com
. Ambos têm os mesmos termos em
e em
, mas o termo constante difere: em
é
e em
é
. Como
, a função não é ímpar.
Passo 6
Observação prática e regra rápida para prova (dica amiga): um polinômio é par se só tiver potências pares (por exemplo
); é ímpar somente se tiver só potências ímpares e sem termo constante (por exemplo
é ímpar, mas se houver constante diferente de zero não pode ser ímpar). No nosso caso há termos de grau ímpar (
,
) e também constante
(grau
, que é par), então a mistura de par/ímpar e a constante diferente de zero garantem que a função é nenhuma das duas.
Resposta
nenhuma das duas