Questão 5. Determine se a função dada é par, impar ou nenhuma das duas.
f(x)=x^{3}-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função dada é par, ímpar ou nenhuma das duas. A função fornecida é \,f(x)=x^{3}-2x+1\,. Informações relevantes: a função é um polinômio de grau 3 com termos x^{3}, -2x e constante 1. O que se quer: decidir entre as opções “par”, “ímpar” ou “nenhuma das duas”.

Passo 2

Definições (essas são as regras que a gente usa na prova):
  • Uma função é par se, para todo x do domínio, vale \,f(-x)=f(x)\,. Intuitivamente, o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  • Uma função é ímpar se, para todo x do domínio, vale \,f(-x)=-f(x)\,. Intuitivamente, o gráfico é simétrico em relação à origem.
    Vou usar essas duas igualdades como teste direto: calcular \,f(-x)\, e comparar com \,f(x)\, e com -f(x)\,.

Passo 3

Calcular \,f(-x)\, substituindo x por -x em \,f(x)=x^{3}-2x+1:
f(-x)=(-x)^{3}-2(-x)+1.
Agora simplifico cada termo:
(-x)^{3}=-x^{3},\qquad -2(-x)=2x,
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f(-x)=-x^{3}+2x+1.

Passo 4

Comparo \,f(-x)\, com \,f(x)\, para testar paridade:
f(x)=x^{3}-2x+1,\qquad f(-x)=-x^{3}+2x+1.
Para ser par precisaríamos de f(-x)=f(x). Observando termo a termo, -x^{3}\neq x^{3} e 2x\neq -2x em geral, então \,f(-x)\neq f(x). Portanto a função não é par.

Passo 5

Agora testo ímparidade comparando f(-x) com -f(x). Primeiro calculo -f(x):
-f(x)=-(x^{3}-2x+1)=-x^{3}+2x-1.
Compare com f(-x)=-x^{3}+2x+1. Ambos têm os mesmos termos em x^{3} e em x, mas o termo constante difere: em f(-x) é +1 e em -f(x) é -1. Como f(-x)\neq -f(x), a função não é ímpar.

Passo 6

Observação prática e regra rápida para prova (dica amiga): um polinômio é par se só tiver potências pares (por exemplo x^{2},x^{4},\ldots); é ímpar somente se tiver só potências ímpares e sem termo constante (por exemplo x^{3}+5x é ímpar, mas se houver constante diferente de zero não pode ser ímpar). No nosso caso há termos de grau ímpar ( x^{3}, x) e também constante 1 (grau 0, que é par), então a mistura de par/ímpar e a constante diferente de zero garantem que a função é nenhuma das duas.

Resposta

nenhuma das duas

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