Questão 3. Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{\omega^{2}+\omega+1}

Passo 1

O enunciado nos dá
\hat f(\omega)=\frac{1}{\omega^{2}+\omega+1}
e pede f(x). Vamos usar a convenção
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx \quad\text{e}\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega.

Passo 2

Encontrar os polos de 1/(\omega^{2}+\omega+1) no plano complexo resolvendo
\omega^{2}+\omega+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Denotamos
\omega_{1}=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}, \quad \omega_{2}=\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}.

Passo 3

Escrevemos a transformada inversa como
f(x) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega x}}{\omega^{2}+\omega+1}\,d\omega.
Para x>0 fechamos o contorno no semiplano superior (pelo fator e^{i\omega x}), capturando apenas \omega_{1}. Para x<0 fechamos no semiplano inferior, capturando apenas \omega_{2}.

Passo 4

Se x>0, o resíduo em \omega_{1} é
\Res_{\omega=\omega_{1}} \frac{e^{i\omega x}}{\omega^{2}+\omega+1} =\frac{e^{i\omega_{1}x}}{(\omega_{1}-\omega_{2})} =\frac{e^{i\omega_{1}x}}{i\sqrt{3}}.
Pelo Teorema dos Resíduos:
f(x) =\frac{1}{2\pi}\,(2\pi i)\,\frac{e^{i\omega_{1}x}}{i\sqrt{3}} =\frac{e^{i\omega_{1}x}}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Se x<0, o resíduo em \omega_{2} é
\Res_{\omega=\omega_{2}} \frac{e^{i\omega x}}{\omega^{2}+\omega+1} =\frac{e^{i\omega_{2}x}}{\omega_{2}-\omega_{1}} =\frac{e^{i\omega_{2}x}}{-i\sqrt{3}} =-\frac{e^{i\omega_{2}x}}{i\sqrt{3}}.
Fechando no semiplano inferior inverte-se o sinal, dando
f(x) =\frac{1}{2\pi}\,(-2\pi i)\Bigl(-\frac{e^{i\omega_{2}x}}{i\sqrt{3}}\Bigr) =\frac{e^{i\omega_{2}x}}{\sqrt{3}}.

Passo 6

Como
\omega_{1}=-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2}, \quad \omega_{2}=-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2},
obtemos para x>0:
f(x) =\frac{1}{\sqrt3}\,e^{\,i(-\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}{2})x} =\frac{1}{\sqrt3}e^{-\frac{\sqrt3}{2}x}e^{-i\frac{x}{2}},
e para x<0:
f(x) =\frac{1}{\sqrt3}\,e^{\,i(-\tfrac12-i\tfrac{\sqrt3}{2})x} =\frac{1}{\sqrt3}e^{\frac{\sqrt3}{2}x}e^{-i\frac{x}{2}}.
Unificando em |x|:
f(x) =\frac{1}{\sqrt3}\,e^{-\frac{\sqrt3}{2}|x|}\,e^{-i\frac{x}{2}}.

Resposta

f(x) =\frac{1}{\sqrt3}\exp\!\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2}\lvert x\rvert\Bigr) \exp\!\Bigl(-i\tfrac{x}{2}\Bigr).

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