Questão 3. Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{i \omega}{1+\omega^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja Transformada de Fourier \displaystyle \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\omega x}\,dx
é
\hat f(\omega)=\frac{i\,\omega}{1+\omega^{2}}.
O conteúdo principal será usar uma transformada inversa conhecida e a propriedade de derivadas em Fourier.

Passo 2

Lembramos da transformada padrão
\mathcal{F}\bigl\{e^{-|x|}\bigr\}(\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}\,dx =\frac{2}{1+\omega^2}.
Logo
\frac{1}{1+\omega^2} \;=\; \mathcal{F}\bigl\{\tfrac12\,e^{-|x|}\bigr\}(\omega).

Passo 3

Também sabemos que, para uma função g suficientemente regular, vale
\mathcal{F}\{g'(x)\}(\omega) =\int_{-\infty}^{+\infty}g'(x)e^{-i\omega x}\,dx =i\,\omega\,\mathcal{F}\{g(x)\}(\omega).
Se escolhermos
g(x)=\tfrac12\,e^{-|x|},
então
i\,\omega\,\mathcal{F}\{g(x)\}(\omega) =i\,\omega\cdot\frac{1}{1+\omega^2} =\frac{i\,\omega}{1+\omega^2} =\hat f(\omega).
Portanto f(x)=g'(x).

Passo 4

Basta derivar
g(x)=\tfrac12\,e^{-|x|}.
Como \frac{d}{dx}e^{-|x|}=-\sgn(x)\,e^{-|x|}, obtemos
f(x)=g'(x) =\tfrac12\bigl(-\sgn(x)\,e^{-|x|}\bigr) =-\tfrac12\,\sgn(x)\,e^{-|x|}.

Resposta

f(x)=-\tfrac12\,\sgn(x)\,e^{-|x|},
onde \displaystyle \sgn(x)=\begin{cases} 1,&x>0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ -1,&x<0. \end{cases}

Exercícios relacionados