Questão 3. Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} cujas Transformadas de Fourier são dadas.
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{a+i b-i \omega}, a>0, b \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado pede a função f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} cuja transformada de Fourier (no sinal \hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt) é
\hat f(\omega)=\frac{1}{a+i b - i\omega},
com a>0 e b\in\mathbb{R}. O conteúdo principal é a inversão da transformada de Fourier usando propriedades de deslocamento e o par canônico entre exponencial decrescente e polo simples.

Passo 2

Recordemos o par de transformada de Fourier
f_0(t)=H(t)e^{-a t} \quad\longleftrightarrow\quad \hat f_0(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{1}{a + i\omega},
onde H(t) é a função de Heaviside e usamos \Re(a)>0.

Passo 3

Observe que
\frac{1}{a+i b - i\omega} =\frac{1}{a + i\bigl(b-\omega\bigr)} =\hat f_0\bigl(b-\omega\bigr).
Ou seja, a transformada dada é exatamente a de f_0 mas com o argumento de frequência trocado de \omega para b-\omega.

Passo 4

Para inverter a transformada definimos
f(t) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f_0(b-\omega)\,e^{i\omega t}\,d\omega.
Fazendo a mudança de variável \xi=b-\omega (então d\omega=-d\xi) e ajustando os limites, obtemos
f(t) =e^{i b t}\,\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f_0(\xi)\,e^{-i\xi t}\,d\xi =e^{i b t}\,f_0(t).

Resposta

f(t)=H(t)\,e^{-a t}\,e^{i b t}.

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