Questão 1: Determine \int_{0}^{5} 12 x^{2} y^{3} d x e \int_{0}^{1} 12 x^{2} y^{3} d y.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=12x^{2}y^{3} e pede duas integrais iteradas isoladas:
  1. \displaystyle \int_{0}^{5}12x^{2}y^{3}\,dx, em que y é tratado como constante;
  2. \displaystyle \int_{0}^{1}12x^{2}y^{3}\,dy, em que x é constante.
    Para resolver, usamos a regra do fator constante e a regra de potência
\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \int_{0}^{5}12x^{2}y^{3}\,dx.
Como y^{3} é constante em relação a x, sai da integral:
\int_{0}^{5}12x^{2}y^{3}\,dx =12y^{3}\int_{0}^{5}x^{2}\,dx.
Pela regra de potência,
\int_{0}^{5}x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{5} =\frac{125}{3}.
Logo,
12y^{3}\cdot\frac{125}{3} =500\,y^{3}.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int_{0}^{1}12x^{2}y^{3}\,dy.
Agora x^{2} é constante em relação a y, então
\int_{0}^{1}12x^{2}y^{3}\,dy =12x^{2}\int_{0}^{1}y^{3}\,dy.
Pela regra de potência,
\int_{0}^{1}y^{3}\,dy =\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{4}.
Portanto,
12x^{2}\cdot\frac{1}{4} =3\,x^{2}.

Resposta

\int_{0}^{5}12x^{2}y^{3}\,dx = 500\,y^{3}.
\int_{0}^{1}12x^{2}y^{3}\,dy = 3\,x^{2}.

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