Sabendo que x, y e z são números reais arbitrários, analise as afirmações a seguir:
I) \sqrt{x^{2}}=x.
II) |-x|=-x, se x<0.
III) x^{2}+z^{2}=(x+z)^{2}.
IV) Se x y<x z então y<z.
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre os reais x,y,z:
I) \sqrt{x^{2}}=x.
II) \lvert -x\rvert=-x, se x<0.
III) x^{2}+z^{2}=(x+z)^{2}.
IV) Se x\,y<x\,z então y<z.
Vamos verificar cada uma usando propriedades de raiz quadrada, valor absoluto, expansão de binômio e regras de desigualdade.

Passo 2

Análise de I: por definição \sqrt{x^{2}}=|x|, e isso só coincide com x quando x\ge0. Como x é arbitrário, não vale em geral.
Portanto, I é falsa.

Passo 3

Análise de II: por definição de valor absoluto \lvert -x\rvert=|-1|\cdot|x|=|x|. Se x<0 então |x|=-x, logo
\lvert -x\rvert=-x.
Portanto, II é verdadeira.

Passo 4

Análise de III: expandindo o quadrado
(x+z)^{2}=x^{2}+2xz+z^{2},
que só seria igual a x^{2}+z^{2} se 2xz=0 para todo x,z. Não é verdade em geral.
Logo, III é falsa.

Passo 5

Análise de IV: se x>0, dividir xy<xz por x não altera o sinal e dá y<z. Mas se x<0, a divisão inverte a desigualdade e resulta y>z, contrariando a conclusão. Para x=0 o antecedente nem vale.
Portanto, IV é falsa.

Resposta

Há exatamente 1 afirmação verdadeira, logo a opção (b).

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