Sabendo que
e
são números reais arbitrários, analise as afirmações a seguir:
I)
.
II)
, se
.
III)
.
IV) Se
então
.
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
I)
II)
III)
IV) Se
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre os reais
:
I) .
II) , se
.
III) .
IV) Se então
.
Vamos verificar cada uma usando propriedades de raiz quadrada, valor absoluto, expansão de binômio e regras de desigualdade.
I)
II)
III)
IV) Se
Vamos verificar cada uma usando propriedades de raiz quadrada, valor absoluto, expansão de binômio e regras de desigualdade.
Passo 2
Análise de I: por definição
, e isso só coincide com
quando
. Como
é arbitrário, não vale em geral.
Portanto, I é falsa.
Portanto, I é falsa.
Passo 3
Análise de II: por definição de valor absoluto
. Se
então
, logo
Portanto, II é verdadeira.
Passo 4
Análise de III: expandindo o quadrado
que só seria igual a
se
para todo
. Não é verdade em geral.
Logo, III é falsa.
Logo, III é falsa.
Passo 5
Análise de IV: se
, dividir
por
não altera o sinal e dá
. Mas se
, a divisão inverte a desigualdade e resulta
, contrariando a conclusão. Para
o antecedente nem vale.
Portanto, IV é falsa.
Portanto, IV é falsa.
Resposta
Há exatamente 1 afirmação verdadeira, logo a opção (b).