Sobre a função quadrática
f(x)=x^{2}-5 x+6
analise as seguintes afirmativas.
I) é côncava para cima.
II) possui duas raízes reais e distintas.
III) o seu vértice é o ponto \left(\frac{5}{2},-\frac{1}{4}\right).
IV) é não negativa para x \geq 3.
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens FALSOS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função quadrática
f(x) = x^2 - 5x + 6
Devemos analisar as seguintes propriedades: concavidade, número de raízes reais, vértice e sinal para x \ge 3. Usaremos teoria de parábolas.

Passo 2

A concavidade de uma parábola f(x)=ax^2+bx+c é determinada pelo sinal de a. Aqui a=1>0, logo a parábola abre para cima, sendo côncava para cima. Portanto, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 3

O número de raízes reais distintas é dado pelo discriminante
\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1 > 0.
Como \Delta>0, existem duas raízes reais e distintas. Logo, a afirmativa II é verdadeira.

Passo 4

As coordenadas do vértice são
x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{5}{2}, \quad y_v = f\bigl(x_v\bigr) = \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^2 -5\Bigl(\frac{5}{2}\Bigr) +6 = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 6 = -\frac{1}{4}.
Assim, o vértice é \bigl(\tfrac{5}{2},-\tfrac{1}{4}\bigr), e a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Para analisar o sinal de f(x), fatoramos:
f(x) = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3).
Como a parábola abre para cima, temos f(x)\ge0 para x\le2 ou x\ge3. Em particular, para x\ge3, f(x) é não negativa. Logo a afirmativa IV é verdadeira.

Passo 6

Todas as quatro afirmações são verdadeiras, portanto não há itens falsos.

Resposta

(a)

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