Questão 1.
Determine:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{3}+1}{2 x^{2}+7}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x \to -\infty da função racional \frac{5x^3+1}{2x^2+7}. Isso envolve comparação de graus de polinômios e fatoração do termo de maior grau.

Passo 2

Para identificar o comportamento em infinito, fatoramos x^3 no numerador e x^2 no denominador:
\frac{5x^3+1}{2x^2+7} = \frac{x^3\bigl(5 + \frac{1}{x^3}\bigr)}{x^2\bigl(2 + \frac{7}{x^2}\bigr)} = x \,\frac{5 + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{7}{x^2}}.

Passo 3

Quando x \to -\infty, os termos \tfrac{1}{x^3} e \tfrac{7}{x^2} tendem a zero. Então
x\,\frac{5 + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{7}{x^2}} \;\longrightarrow\; x\,\frac{5}{2} = \frac{5}{2}\,x.
Como x \to -\infty, \frac{5}{2}\,x \to -\infty.

Resposta

-\infty

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