Questão 1.
Verifique se o limite existe:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede verificar se existe o limite
\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}
Esse é um problema de limites de funções racionais que gera a forma de indeterminação \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação algébrica.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta:
Numerador: (2)^{2} - 4 = 4 - 4 = 0.
Denominador: 2 - 2 = 0.
Logo, obtemos a forma indeterminada
\frac{0}{0},
então precisamos manipular algebricamente a expressão.

Passo 3

Fatoramos o numerador como diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Assim, a expressão original fica, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.

Passo 4

Podemos cancelar o fator comum x-2 (desde que x\neq2), obtendo a função equivalente
f(x)=x+2.
Agora o limite de f(x) quando x\to2 é dado por substituição direta:
\lim_{x\to2}f(x)=2+2=4.

Passo 5

Concluímos que o limite existe e vale 4.

Resposta

4

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