Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 3^x^2+y^2-1x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) 3^x^2+y^2-1x^2+y^2
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e uso de substituição para reduzir ao limite de uma função de uma variável. Vamos aproveitar que tudo depende de x^2+y^2.

Passo 2

Defina
u = x^2+y^2
Quando (x,y)to(0,0), temos uto0^+. A expressão vira
3^x^2+y^2-1x^2+y^2 = 3^u-1u

Passo 3

Agora usamos o limite clássico de função exponencial: para qualquer base a>0,
limuto0a^u-1u=ln(a)
No nosso caso a=3, logo
limuto03^u-1u=ln(3)

Passo 4

Como a expressão original só depende de u=x^2+y^2, o limite em duas variáveis existe e é o mesmo que o limite em u. Portanto
lim(x,y)to(0,0) 3^x^2+y^2-1x^2+y^2 =ln(3)

Resposta

ln(3)

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