Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0)(x^2+y^2) ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede o valor de
lim(x,y)to(0,0)l(x^2+y^2r)lnl(x^2+y^2r)
O conteúdo principal é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar coordenadas polares para ver se o limite existe e encontrar o valor.

Passo 2

Fazendo a troca para coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta, r>=0,
então
x^2+y^2 = r^2
O limite (x,y)to(0,0) equivale a rto0^+, sem depender de theta.

Passo 3

Substituindo na expressão, obtemos
(x^2+y^2)ln(x^2+y^2) = r^2lnl(r^2r)
Como ln(r^2)=2ln r, isso vira
r^2ln(r^2) = 2,r^2ln r

Passo 4

Agora avaliamos
limrto0^+2,r^2ln r
Sabemos do cálculo de uma variável que
limtto0^+tln t = 0,
logo, com t=r^2, temos
limrto0^+r^2ln(r^2)=0 Longrightarrow limrto0^+2,r^2ln r=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

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