Seja a funçâo definida abaixo. Identifique suas partes real e imaginária em funçāo das partes real e imaginária de
. Identifique o dominio da função e se possivel calcule o valor da funçāo no ponto
. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente tem uma função complexa
. Precisamos:
- Separar essa função nas suas partes real e imaginária, usando as partes real e imaginária de
. - Descobrir o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de
ela está definida. - Se der, calcular o valor da função no ponto
.
Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como representação em partes real e imaginária, conjugado de números complexos e cálculo de módulos.
Passo 2
Vamos representar
em suas partes real e imaginária. Seja
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
.
Então:
- O conjugado de
, , é . - A parte imaginária de
, , é .
Passo 3
Substituindo esses valores na função
:
Simplificando o numerador:
Lembrando que
, fica:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o denominador
:
Então, a função fica:
Passo 5
Vamos separar as partes real e imaginária de
:
Portanto:
- Parte real de
: - Parte imaginária de
:
Passo 6
Para encontrar o domínio da função, precisamos ver onde a função está definida. Olhando para o denominador
, percebemos que ele nunca é zero porque
é sempre positivo ou zero, então
. Portanto, a função está definida para todos os números complexos
.
Passo 7
Vamos calcular
onde
. Aqui,
e
.
Substituindo na expressão das partes real e imaginária:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Resposta
A função
tem parte real igual a
e parte imaginária igual a
. O domínio da função é todo o conjunto dos números complexos
. O valor da função no ponto
é
.