Seja a funçâo definida abaixo. Identifique suas partes real e imaginária em funçāo das partes real e imaginária de z. Identifique o dominio da função e se possivel calcule o valor da funçāo no ponto Z0=1-i. Justifique sua resposta.
f(z)=i(z-1) cdot Im(z)|Im(z)-i|^2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo! A gente tem uma função complexa f(z) = i(z - 1) cdot Im(z)|Im(z) - i|^2 . Precisamos:
  1. Separar essa função nas suas partes real e imaginária, usando as partes real e imaginária de z .
  2. Descobrir o domínio dessa função, ou seja, para quais valores de z ela está definida.
  3. Se der, calcular o valor da função no ponto z0 = 1 - i .
Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como representação em partes real e imaginária, conjugado de números complexos e cálculo de módulos.

Passo 2

Vamos representar z em suas partes real e imaginária. Seja z = x + iy , onde x é a parte real e y é a parte imaginária de z .
Então:
  • O conjugado de z , z , é x - iy .
  • A parte imaginária de z , Im(z) , é y .

Passo 3

Substituindo esses valores na função f(z) :
f(z) = i(z - 1) cdot y|y - i|^2 = i(x - iy - 1) cdot y|y - i|^2
Simplificando o numerador:
i(x - iy - 1) cdot y = i(x - 1 - iy) cdot y = i(x - 1)y - i^2 y^2
Lembrando que i^2 = -1 , fica:
i(x - 1)y + y^2

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador |y - i|^2 :
|y - i|^2 = y^2 + 1
Então, a função fica:
f(z) = y^2 + i(x - 1)yy^2 + 1

Passo 5

Vamos separar as partes real e imaginária de f(z) :
f(z) = y^2y^2 + 1 + i((x - 1)yy^2 + 1)
Portanto:
  • Parte real de f(z) : y^2y^2 + 1
  • Parte imaginária de f(z) : (x - 1)yy^2 + 1

Passo 6

Para encontrar o domínio da função, precisamos ver onde a função está definida. Olhando para o denominador y^2 + 1 , percebemos que ele nunca é zero porque y^2 é sempre positivo ou zero, então y^2 + 1 >= 1 . Portanto, a função está definida para todos os números complexos z .

Passo 7

Vamos calcular f(z0) onde z0 = 1 - i . Aqui, x = 1 e y = -1 .
Substituindo na expressão das partes real e imaginária:
  • Parte real: (-1)^2(-1)^2 + 1 = 11 + 1 = 12
  • Parte imaginária: (1 - 1)(-1)(-1)^2 + 1 = 0 cdot (-1)1 + 1 = 0

Resposta

A função f(z) tem parte real igual a y^2y^2 + 1 e parte imaginária igual a (x - 1)yy^2 + 1 . O domínio da função é todo o conjunto dos números complexos z . O valor da função no ponto z0 = 1 - i é 12 .

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