Seja f(z)=|z|^2-2 Re(i z)+i Im(-z^2). Identifique, se existir, os conjuntos de pontos no dominio para os quais o valor de f(z) seja real puro. Caracterize o mapeamento desses pontos.

Passo 1

O enunciado define a função
f(z)=|z|^2-2Re(i,z)+i;Im(-z^2),
e pede para achar todos os pontos z do plano em que f(z) seja um número real (ou seja, a parte imaginária de f vale zero) e descrever como esses pontos são levados pelo mapeamento f.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,yinR.
  1. |z|^2 = x^2+y^2.
  2. i,z = i(x+iy) = -y + i x, logo Re(i,z)=-y e
-2Re(i,z)=2y
  1. z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2 + 2i x y, então
    -z^2 = -x^2+y^2-2i x y e
    Im(-z^2) = -2xy, de onde
i,Im(-z^2)=i(-2xy)=-2i,x y
Somando tudo,
f(x,y)=x^2+y^2+2y ;-;2,i,x y,
ou seja
u(x,y)=x^2+y^2+2y, v(x,y)=-2xy

Passo 3

Para f(z) ser real puro precisamos de v(x,y)=0, isto é
-2xy=0 Longrightarrow x=0ou y=0
Logo, os pontos que geram valor real são exatamente o eixo real ( y=0) e o eixo imaginário ( x=0).

Passo 4

Caso y=0 (eixo real): z=xinR.
Então
f(x,0)=x^2+0+0 = x^2,
que percorre o semirreta real [0,infty).

Passo 5

Caso x=0 (eixo imaginário): z=iy, yinR.
Então
f(0,y)=0+y^2+2y = y^2+2y = (y+1)^2 -1
Esse valor é real e, como função de y, é uma parábola com vértice em y=-1 e valor mínimo -1. O alcance é [-1,infty).

Passo 6

Caracterização do mapeamento:
  • O eixo real ( y=0) é levado pelo f na semirreta real [0,infty) via xmapsto x^2.
  • O eixo imaginário ( x=0) é levado na semirreta real [-1,infty) via ymapsto y^2+2y, com valor mínimo -1 em y=-1. Note que, exceto em y=-1, cada valor em (-1,infty) tem duas pré-imagens simétricas em relação a y=-1.

Resposta

Os pontos z tais que f(z) é real puro são exatamente
zinC: x=0;cup;zinC: y=0,
isto é, o eixo real e o eixo imaginário.
Sobre esse conjunto, f mapeia:
(a) o eixo real em [0,infty) por xmapsto x^2;
(b) o eixo imaginário em [-1,infty) por ymapsto y^2+2y.

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