Seja
. Identifique, se existir, os conjuntos de pontos no dominio para os quais o valor de
seja real puro. Caracterize o mapeamento desses pontos.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para achar todos os pontos
do plano em que
seja um número real (ou seja, a parte imaginária de
vale zero) e descrever como esses pontos são levados pelo mapeamento
.
Passo 2
Escrevemos
com
.
-
. -
, logo e
-
, então
e
, de onde
Somando tudo,
ou seja
Passo 3
Para
ser real puro precisamos de
, isto é
Logo, os pontos que geram valor real são exatamente o eixo real (
) e o eixo imaginário (
).
Passo 4
Caso
(eixo real):
.
Então
Então
que percorre o semirreta real
.
Passo 5
Caso
(eixo imaginário):
,
.
Então
Então
Esse valor é real e, como função de
, é uma parábola com vértice em
e valor mínimo
. O alcance é
.
Passo 6
Caracterização do mapeamento:
- O eixo real (
) é levado pelo na semirreta real via . - O eixo imaginário (
) é levado na semirreta real via , com valor mínimo em . Note que, exceto em , cada valor em tem duas pré-imagens simétricas em relação a .
Resposta
Os pontos
tais que
é real puro são exatamente
isto é, o eixo real e o eixo imaginário.
Sobre esse conjunto, mapeia:
(a) o eixo real em por
;
(b) o eixo imaginário em por
.
Sobre esse conjunto,
(a) o eixo real em
(b) o eixo imaginário em