O volume do sólido limitado por z=3+x^2+y^2 e z=6 é
a) 9 pi2
b) 9 pi
c) 4 pi raiz3
d) pi raiz3

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela
z = 3 + x^2 + y^2
e
z = 6
Esse é um problema de cálculo de volume por integração dupla, e vamos usar coordenadas polares para facilitar a descrição da região no plano xy.

Passo 2

Para achar a projeção D do sólido no plano xy, igualamos as superfícies:
3 + x^2 + y^2 = 6 Longrightarrow x^2 + y^2 = 3
Logo, D é o disco de raio raiz3.

Passo 3

Em coordenadas polares, temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
O volume é
V = integral duplaD l(6 - (3 + x^2 + y^2)r),dA = integral0^2piintegral0^raiz3 l(6 - (3 + r^2)r),r,dr,dtheta

Passo 4

Dentro do integrando:
6 - (3 + r^2) = 3 - r^2,
então a integral em r fica
integral0^raiz3 (3 - r^2),r,dr = integral0^raiz3 (3r - r^3),dr = [3r^22 - r^44]0^raiz3 = 94

Passo 5

Agora integramos em theta:
V = integral0^2pi 94,dtheta = 94cdot 2pi = 9pi2

Resposta

a) 9pi2

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