Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o limite, se existir, de
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do estudo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites em várias dimensões e usar algumas técnicas de mudança de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em cálculos com duas variáveis, mudar para coordenadas polares pode facilitar bastante, especialmente quando a função depende somente de
. Nas coordenadas polares, temos:
Aqui,
representa a distância do ponto
até a origem, e
é o ângulo em relação ao eixo
.
Passo 3
Substituindo essas expressões na nossa função original, temos:
Agora, nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando
tende a 0.
Passo 4
Para resolver
, vamos lembrar que para pequenos valores de
, podemos aproximar
usando a expansão de Taylor:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
Passo 6
Assim, ao calcular o limite quando
tende a 0, todos os termos que dependem de
desaparecem, e restamos apenas com
.
Resposta
Portanto, o limite é
.