Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para determinarmos o limite, se existir, de 3^x^2+y^2-1x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está dentro do estudo de limites em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam os limites em várias dimensões e usar algumas técnicas de mudança de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando coordenadas polares. Em cálculos com duas variáveis, mudar para coordenadas polares pode facilitar bastante, especialmente quando a função depende somente de x^2 + y^2. Nas coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
x^2 + y^2 = r^2
Aqui, r representa a distância do ponto (x, y) até a origem, e theta é o ângulo em relação ao eixo x.

Passo 3

Substituindo essas expressões na nossa função original, temos:
3^x^2+y^2 - 1x^2+y^2 = 3^r^2 - 1r^2
Agora, nosso objetivo é calcular o limite dessa expressão quando r tende a 0.

Passo 4

Para resolver limr to 0 3^r^2 - 1r^2, vamos lembrar que para pequenos valores de z, podemos aproximar a^z usando a expansão de Taylor:
a^z approx 1 + z ln(a) quando z é pequeno é
No nosso caso, a = 3 e z = r^2, então:
3^r^2 approx 1 + r^2 ln(3)

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão do limite, temos:
3^r^2 - 1r^2 approx 1 + r^2 ln(3) - 1r^2 = r^2 ln(3)r^2 = ln(3)

Passo 6

Assim, ao calcular o limite quando r tende a 0, todos os termos que dependem de r desaparecem, e restamos apenas com ln(3).

Resposta

Portanto, o limite é ln(3).

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