Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de limite! A pergunta é:
lim (x, y) (0,0) e^x^2 y-1y^3
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e analisar o comportamento da função quando (x, y) se aproxima de (0, 0) .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador e^x^2 y - 1 . Para isso, usamos a expansão em série de Taylor da função exponencial e^u , que é:
e^u = 1 + u + u^22! + u^33! + dots
Aqui, substituímos u por x^2 y :
e^x^2 y = 1 + x^2 y + (x^2 y)^22 + (x^2 y)^36 + dots
Então, subtraindo 1:
e^x^2 y - 1 = x^2 y + (x^2 y)^22 + (x^2 y)^36 + dots

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa função original:
e^x^2 y - 1y^3 = x^2 y + (x^2 y)^22 + (x^2 y)^36 + dotsy^3
Vamos dividir cada termo do numerador por y^3 :
x^2 yy^3 + (x^2 y)^22y^3 + (x^2 y)^36y^3 + dots = x^2y^2 + x^42 y + x^66 + dots

Passo 4

Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando (x, y) se aproxima de (0, 0) . A ideia é verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que (x, y) toma para chegar a (0, 0) .
Vamos considerar caminhos diferentes:
  1. Caminho 1: y = 0
    Substituindo y = 0 :
e^x^2 cdot 0 - 10^3 = 1 - 10 = 00
Essa é uma forma indeterminada, mas vamos analisar mais a fundo.
  1. Caminho 2: x = 0
    Substituindo x = 0 :
e^0 cdot y - 1y^3 = 1 - 1y^3 = 0y^3 = 0
Aqui, o limite é claramente 0.
  1. Caminho 3: y = kx^n onde k é uma constante e n é um expoente positivo
    Substituindo y = kx^n :
e^x^2 cdot kx^n - 1(kx^n)^3 = e^k x^2 + n - 1k^3 x^3n
Usando a expansão de Taylor novamente:
e^k x^2 + n - 1 approx k x^2 + n
Então:
k x^2 + nk^3 x^3n = 1k^2 x^2 + n - 3n = 1k^2 x^2 - 2n
Agora, analisamos o expoente 2 - 2n :
  • Se 2 - 2n > 0 ( n < 1 ), então x^2 - 2n tende a 0.
  • Se 2 - 2n = 0 ( n = 1 ), então x^0 = 1 , e o limite depende de k .
  • Se 2 - 2n < 0 ( n > 1 ), então x^2 - 2n tende ao infinito.
Isso mostra que o limite depende do valor de n e de k , ou seja, do caminho que escolhemos para (x, y) se aproximar de (0, 0) .

Passo 5

Como o limite depende do caminho seguido para (x, y) se aproximar de (0, 0) , isso significa que o limite não é único. Em outras palavras, diferentes caminhos resultam em valores diferentes para o limite.

Resposta

O limite não existe porque seu valor depende do caminho seguido para (x, y) se aproximar de (0,0) .

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