Questão 2: Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de limite! A pergunta é:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre séries de Taylor e analisar o comportamento da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Para isso, usamos a expansão em série de Taylor da função exponencial
, que é:
Aqui, substituímos
por
:
Então, subtraindo 1:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa função original:
Vamos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 4
Agora, analisamos o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de
. A ideia é verificar se o limite é o mesmo independentemente do caminho que
toma para chegar a
.
Vamos considerar caminhos diferentes:
-
Caminho 1:Substituindo
:
Essa é uma forma indeterminada, mas vamos analisar mais a fundo.
-
Caminho 2:Substituindo
:
Aqui, o limite é claramente 0.
-
Caminho 3:
onde é uma constante e é um expoente positivo Substituindo:
Usando a expansão de Taylor novamente:
Então:
Agora, analisamos o expoente
:
- Se
( ), então tende a 0. - Se
( ), então , e o limite depende de . - Se
( ), então tende ao infinito.
Isso mostra que o limite depende do valor de
e de
, ou seja, do caminho que escolhemos para
se aproximar de
.
Passo 5
Como o limite depende do caminho seguido para
se aproximar de
, isso significa que o limite não é único. Em outras palavras, diferentes caminhos resultam em valores diferentes para o limite.
Resposta
O limite não existe porque seu valor depende do caminho seguido para
se aproximar de
.