Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
(1,0) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{-3 x y}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{-3xy}{x^{2}+y^{2}}
e pede para determinar o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
ou mostrar que esse limite não existe. Informações relevantes que temos:
  • A função está definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador x^{2}+y^{2} é zero só em (0,0)).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • A pergunta é única: existe um número L tal que f(x,y) tende a L quando (x,y) vai para (0,0)? Se sim, determinar L; se não, justificar por que o limite não existe.

Passo 2

Vou explicar a ideia que vou usar (sem usar termos complicados): para que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
exista, todo caminho (toda maneira) de aproximar (x,y) de (0,0) deve levar ao mesmo número L. Então uma maneira simples e prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que vão para (0,0) mas dão limites diferentes de f(x,y). Se acharmos duas dessas, já está provado que não existe um único L.

Passo 3

Testo o caminho y=0. Substituindo y=0 em f:
f(x,0)=\frac{-3x\cdot 0}{x^{2}+0^{2}}=\frac{0}{x^{2}}=0\quad\text{para }x\neq0.
Então, ao aproximar (x,0) de (0,0) (isto é, x\to0),
\lim_{x\to0} f(x,0)=0.

Passo 4

Testo agora o caminho y=x. Substituindo y=x em f:
f(x,x)=\frac{-3x\cdot x}{x^{2}+x^{2}}=\frac{-3x^{2}}{2x^{2}}=\frac{-3}{2}\quad\text{para }x\neq0.
Portanto, ao aproximar (x,x) de (0,0) (isto é, x\to0),
\lim_{x\to0} f(x,x)=-\frac{3}{2}.

Passo 5

Compare os resultados obtidos nos dois caminhos:
  • Pelo caminho y=0 o limite é 0.
  • Pelo caminho y=x o limite é -\dfrac{3}{2}.
Como esses números são diferentes, não existe um único valor L que seja o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0). Logo, o limite não existe.
(O comentário adicional: se quiser ver a dependência do caminho, tomando y=kx com constante k obtém-se
f(x,kx)=\frac{-3k}{1+k^{2}},
valor que depende de k. Isso reforça que o valor varia conforme o caminho escolhido.)

Resposta

O limite não existe.

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