Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar o limite
ou mostrar que esse limite não existe. Informações relevantes que temos:
- A função está definida para
(o denominador é zero só em ). - O ponto de interesse é
. - A pergunta é única: existe um número
tal que tende a quando vai para ? Se sim, determinar ; se não, justificar por que o limite não existe.
Passo 2
Vou explicar a ideia que vou usar (sem usar termos complicados): para que o limite
exista, todo caminho (toda maneira) de aproximar
de
deve levar ao mesmo número
. Então uma maneira simples e prática de mostrar que o limite não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que vão para
mas dão limites diferentes de
. Se acharmos duas dessas, já está provado que não existe um único
.
Passo 3
Testo o caminho
. Substituindo
em
:
Então, ao aproximar
de
(isto é,
),
Passo 4
Testo agora o caminho
. Substituindo
em
:
Portanto, ao aproximar
de
(isto é,
),
Passo 5
Compare os resultados obtidos nos dois caminhos:
- Pelo caminho
o limite é . - Pelo caminho
o limite é .
Como esses números são diferentes, não existe um único valor
que seja o limite de
quando
. Logo, o limite não existe.
(O comentário adicional: se quiser ver a dependência do caminho, tomando
com constante
obtém-se
valor que depende de
. Isso reforça que o valor varia conforme o caminho escolhido.)
Resposta
O limite não existe.