Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
(0,5) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função real de duas variáveis e pede para determinar o limite, se existir:
f(x,y)=\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Ou seja, a pergunta é: existe
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\,?
Se existir, qual é o seu valor; se não existir, justificar por quê.

Passo 2

O que significa mostrar que esse limite existe e vale um certo número L? Significa que para qualquer sequência (x_n,y_n) diferente de (0,0) que tende a (0,0), os valores f(x_n,y_n) tendem a L. Uma maneira prática de provar limites em duas variáveis é obter uma desigualdade que capture o comportamento da função perto da origem e então usar o Teorema do Encurralamento (squeeze theorem). Vou seguir essa ideia: vou encontrar uma desigualdade do tipo
0 \le |f(x,y)| \le \text{algo que tende a }0
quando (x,y)\to(0,0). Se conseguir, então f(x,y)\to 0.

Passo 3

Observação útil: para quaisquer números reais u e v vale a desigualdade (uma forma do AM-GM ou do quadrado da soma)
(u+v)^{2} \ge 4uv.
Tomando u=x^{2} e v=y^{2} (ambos não negativos), obtemos
(x^{2}+y^{2})^{2} \ge 4x^{2}y^{2}.
Dividindo por 4,
x^{2}y^{2} \le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Essa é a desigualdade que vamos usar; ela relaciona o produto x^{2}y^{2} com uma potência de x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Agora aplico essa desigualdade ao numerador de f(x,y). Para (x,y)\neq(0,0) (assim o denominador está definido),
\left|\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| = \frac{5\,x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
porque o lado é não negativo. Usando x^{2}y^{2} \le \dfrac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}, segue
\frac{5\,x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \le \frac{5}{x^{2}+y^{2}}\cdot\frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4} = \frac{5}{4}\,(x^{2}+y^{2}).
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
0 \le \left|\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le \frac{5}{4}\,(x^{2}+y^{2}).

Passo 5

Agora aplico o Teorema do Encurralamento: sabe-se que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^{2}+y^{2}) = 0.
Como 0 e \dfrac{5}{4}(x^{2}+y^{2}) têm ambos limite 0 quando (x,y)\to(0,0), e nossa função está encurralada entre eles, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0.

Passo 6

Breve verificação alternativa (intuição): usando coordenadas polares x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta temos
\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{5r^{4}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} =5r^{2}\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta.
Como |\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta|\le 1, o valor absoluto é \le 5r^{2}, que tende a 0 quando r\to0. Isso confirma o resultado anterior.

Resposta

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