Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa. (0,5) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{5 x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a função real de duas variáveis e pede para determinar o limite, se existir:
f(x,y)=\frac{5x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). Ou seja, a pergunta é: existe
Se existir, qual é o seu valor; se não existir, justificar por quê.
Passo 2
O que significa mostrar que esse limite existe e vale um certo número L? Significa que para qualquer sequência (x_n,y_n) diferente de (0,0) que tende a (0,0), os valores f(x_n,y_n) tendem a L. Uma maneira prática de provar limites em duas variáveis é obter uma desigualdade que capture o comportamento da função perto da origem e então usar o Teorema do Encurralamento (squeeze theorem). Vou seguir essa ideia: vou encontrar uma desigualdade do tipo
0 \le |f(x,y)| \le \text{algo que tende a }0
quando (x,y)\to(0,0). Se conseguir, então f(x,y)\to 0.
Passo 3
Observação útil: para quaisquer números reais u e v vale a desigualdade (uma forma do AM-GM ou do quadrado da soma)
(u+v)^{2} \ge 4uv.
Tomando u=x^{2} e v=y^{2} (ambos não negativos), obtemos
(x^{2}+y^{2})^{2} \ge 4x^{2}y^{2}.
Dividindo por 4,
x^{2}y^{2} \le \frac{(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}.
Essa é a desigualdade que vamos usar; ela relaciona o produto x^{2}y^{2} com uma potência de x^{2}+y^{2}.
Passo 4
Agora aplico essa desigualdade ao numerador de f(x,y). Para (x,y)\neq(0,0) (assim o denominador está definido),