Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa. (0,5) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,1,-1)} \ln (x+y-z) \cdot \cos (2 x+y+z)
É preciso determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor, justificando todas as passagens.
Passo 2
Calcular os valores das expressões internas no ponto:
(x+y-z)\Big|_{(0,1,-1)} = 0+1-(-1)=2,
(2x+y+z)\Big|_{(0,1,-1)} = 2\cdot 0 + 1 + (-1)=0.
Assim, no ponto de interesse a expressão lógica seria \ln(2) multiplicada por \cos(0).
Passo 3
Verificar se a função está bem definida numa vizinhança do ponto (necessário porque \ln exige argumento positivo). Mostrarei que existe uma bola ao redor de (0,1,-1) em que x+y-z>0, portanto \ln(x+y-z) está bem definida ali.
porque para quaisquer a,b,c vale |a|+|b|+|c|\le\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Escolhendo \delta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, se r<\delta então \big|(x+y-z)-2\big|<1. Logo, para r<\delta tem-se
x+y-z>2-1=1>0.
Portanto existe uma vizinhança da origem no qual o argumento de \ln é positivo e a função está bem definida.
Passo 4
Argumento de continuidade: as funções lineares (x,y,z)\mapsto x+y-z e (x,y,z)\mapsto 2x+y+z são contínuas em todo \mathbb{R}^3. A função \ln é contínua no intervalo (0,\infty) e \cos é contínua em \mathbb{R}. Como mostrado no Passo 3, existe uma vizinhança de (0,1,-1) onde x+y-z>0, isto é, onde a composição faz sentido. A composição de funções contínuas é contínua, e o produto de funções contínuas é contínuo. Portanto f(x,y,z)=\ln(x+y-z)\cos(2x+y+z) é contínua em (0,1,-1).
Pelo fato de f ser contínua naquele ponto, o limite quando (x,y,z)\to(0,1,-1) é simplesmente o valor de f no ponto: