Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
(0,5) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,1,-1)} \ln (x+y-z) \cdot \cos (2 x+y+z)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,1,-1)} \ln(x+y-z)\cdot \cos(2x+y+z).
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A função é f(x,y,z)=\ln(x+y-z)\cdot \cos(2x+y+z).
  • O ponto de aproximação é (0,1,-1).
  • É preciso determinar se o limite existe e, se existir, calcular seu valor, justificando todas as passagens.

Passo 2

Calcular os valores das expressões internas no ponto:
(x+y-z)\Big|_{(0,1,-1)} = 0+1-(-1)=2,
(2x+y+z)\Big|_{(0,1,-1)} = 2\cdot 0 + 1 + (-1)=0.
Assim, no ponto de interesse a expressão lógica seria \ln(2) multiplicada por \cos(0).

Passo 3

Verificar se a função está bem definida numa vizinhança do ponto (necessário porque \ln exige argumento positivo). Mostrarei que existe uma bola ao redor de (0,1,-1) em que x+y-z>0, portanto \ln(x+y-z) está bem definida ali.
Seja
r=\sqrt{(x-0)^2+(y-1)^2+(z+1)^2}=\|(x,y,z)-(0,1,-1)\|.
Usando desigualdade triangular e a relação entre norma 1 e norma 2,
\big|(x+y-z)-2\big|=\big|(x-0)+(y-1)-(z+1)\big|\le |x-0|+|y-1|+|z+1|.
Mas
|x-0|+|y-1|+|z+1|\le \sqrt{3}\,r,
porque para quaisquer a,b,c vale |a|+|b|+|c|\le\sqrt{3}\sqrt{a^2+b^2+c^2}.
Escolhendo \delta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, se r<\delta então \big|(x+y-z)-2\big|<1. Logo, para r<\delta tem-se
x+y-z>2-1=1>0.
Portanto existe uma vizinhança da origem no qual o argumento de \ln é positivo e a função está bem definida.

Passo 4

Argumento de continuidade: as funções lineares (x,y,z)\mapsto x+y-z e (x,y,z)\mapsto 2x+y+z são contínuas em todo \mathbb{R}^3. A função \ln é contínua no intervalo (0,\infty) e \cos é contínua em \mathbb{R}. Como mostrado no Passo 3, existe uma vizinhança de (0,1,-1) onde x+y-z>0, isto é, onde a composição faz sentido. A composição de funções contínuas é contínua, e o produto de funções contínuas é contínuo. Portanto f(x,y,z)=\ln(x+y-z)\cos(2x+y+z) é contínua em (0,1,-1).
Pelo fato de f ser contínua naquele ponto, o limite quando (x,y,z)\to(0,1,-1) é simplesmente o valor de f no ponto:
\lim_{(x,y,z)\to(0,1,-1)} f(x,y,z)=f(0,1,-1).

Passo 5

Calcular o valor:
f(0,1,-1)=\ln\big((0)+(1)-(-1)\big)\cdot \cos\big(2\cdot 0 + 1 + (-1)\big) =\ln(2)\cdot \cos(0)=\ln(2)\cdot 1=\ln(2).

Resposta

\ln(2)

Exercícios relacionados