Questão 3 - Mostre que a função definida abaixo é contínua.
f: \begin{cases}\frac{z^{4}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, & \text { se, } \quad(x, y, z) \neq(0,0,0) \\\\ 0 & \text { se, } \quad(x, y, z)=(0,0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z) = \begin{cases} \dfrac{z^{4}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}},&\text{se }(x,y,z)\neq(0,0,0),\\[1em] 0,&\text{se }(x,y,z)=(0,0,0). \end{cases}
O conteúdo é continuidade de funções de várias variáveis. Para mostrar que f é contínua em \mathbb{R}^{3}, basta verificar que
  1. f é contínua em todo ponto (x,y,z)\neq(0,0,0), e
  2. \displaystyle\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=f(0,0,0)=0.]

Passo 2

Se (x,y,z)\neq(0,0,0), o denominador x^{2}+y^{2}+z^{2} é diferente de zero. Logo a expressão
(x,y,z)\mapsto \frac{z^4}{x^2+y^2+z^2}
é quociente de polinômios com denominador não nulo, e portanto contínua em cada ponto (x,y,z)\neq(0,0,0).

Passo 3

Para verificar a continuidade em (0,0,0), calculamos o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}\frac{z^4}{x^2+y^2+z^2}.
Note que, ao chamar r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}, temos |z|\le r. Então
\bigl|f(x,y,z)\bigr| = \frac{|z|^4}{x^2+y^2+z^2} = |z|^2\;\frac{|z|^2}{r^2} \le |z|^2 \le r^2.
Como r\to0 quando (x,y,z)\to(0,0,0), segue que \bigl|f(x,y,z)\bigr|\le r^2\to0. Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=0.

Passo 4

Em termos de \varepsilon- \delta: dado \varepsilon>0, escolha \delta=\sqrt{\varepsilon}. Se \sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta, então
|f(x,y,z)|\le x^2+y^2+z^2<\delta^2=\varepsilon,
o que mostra que o limite é zero e coincide com f(0,0,0).

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{3}.

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