Questão 2. Determine os limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\operatorname{sen} x}-1}{x}=\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x}-1}{x}.
O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor para funções elementares em torno de x=0. Vamos precisar da expansão de \sin x e de e^u para pequenas variáveis.

Passo 2

Começamos com a expansão de \sin x até a ordem relevante:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).
Chamando u = \sin x, temos
u = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5).

Passo 3

Agora expandimos e^u em série de Taylor em torno de u=0:
e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{6} + O(u^4).
Substituindo u = x - \tfrac{x^3}{6} + O(x^5) e mantendo termos até x^3,
e^{\sin x} = 1 + \Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr) + \frac{1}{2}\Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)^2 + \frac{1}{6}\Bigl(x - \frac{x^3}{6}\Bigr)^3 + O(x^4).
Calculando apenas até a ordem x^2 (pois depois vai dividir por x), nota-se que os termos em x^3 se cancelam, resultando em
e^{\sin x} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^4).

Passo 4

O numerador da nossa fração fica
e^{\sin x} - 1 = x + \frac{x^2}{2} + O(x^4).
Dividindo por x,
\frac{e^{\sin x}-1}{x} = 1 + \frac{x}{2} + O(x^3).
Quando x \to 0, a parte \tfrac{x}{2}+O(x^3) vai a zero, de modo que o limite vale 1.

Resposta

1

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