Questão 1. (0,8) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial abaixo tem, com certeza, uma única solução:
\left\{\begin{array}{l} \left(5-x^{2}\right) y^{\prime \prime}+x^{1 / 2} y^{\prime}+(x-1)^{-1} y=x^{2 / 3} \operatorname{sen} 3 x \\\ y(-1 / 2)=1, y^{\prime}(-1 / 2)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema de valor inicial é uma EDO linear de segunda ordem da forma
(5 - x^2)\,y'' + x^{1/2}\,y' + (x-1)^{-1}\,y = x^{2/3}\,\operatorname{sen}(3x),
com condições y(-\tfrac12)=1, y'(-\tfrac12)=-1.
Para garantir existência e unicidade pela teoria de EDOs lineares, precisamos escrever em forma padrão
y'' + p(x)\,y' + q(x)\,y = r(x)
e exigir que p,q,r sejam contínuas num intervalo que contenha x_0=-\tfrac12.

Passo 2

Dividindo por 5-x^2 (que deve ser \neq 0), obtemos
y'' + \frac{x^{1/2}}{5-x^2}\,y' + \frac{1}{(x-1)(5-x^2)}\,y = \frac{x^{2/3}\,\operatorname{sen}(3x)}{5-x^2}.
Logo
p(x)=\frac{x^{1/2}}{5-x^2},\quad q(x)=\frac{1}{(x-1)(5-x^2)},\quad r(x)=\frac{x^{2/3}\,\operatorname{sen}(3x)}{5-x^2}.

Passo 3

As descontinuidades de p,q,r vêm de zeros do denominador e de pontos singulares:
  • 5-x^2=0 em x=\pm\sqrt{5};
  • x-1=0 em x=1.
    Entre esses valores, p,q,r são contínuas.

Passo 4

O ponto inicial x_0=-\tfrac12 pertence ao intervalo entre -\sqrt{5} e 1.
Esse é o maior intervalo aberto que contém -\tfrac12 e não atinge \pm\sqrt{5} nem 1.

Resposta

\bigl(-\sqrt{5},\,1\bigr).

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