Questão 6(1,5). Determine pelo menos um intervalo que a funçāo f(x)=x^{3}-2 x^{2}-4 x-2 possua raiz. Justifique sua resposta com os cálculos necessários.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre pelo menos um intervalo onde a função
f(x)=x^{3}-2x^{2}-4x-2
tenha raiz. Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}. Para aplicar o Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário), vamos avaliar f em alguns pontos e procurar uma troca de sinal.

Passo 2

Calcular f(2):
f(2) = 2^3 - 2\cdot2^2 - 4\cdot2 - 2 = 8 - 8 - 8 - 2 = -10.
Logo, f(2) = -10 < 0.

Passo 3

Calcular f(4):
f(4) = 4^3 - 2\cdot4^2 - 4\cdot4 - 2 = 64 - 32 - 16 - 2 = 14.
Logo, f(4) = 14 > 0.

Passo 4

Como f é contínua e
f(2)\cdot f(4) = (-10)\times 14 < 0,
pelo Teorema de Bolzano existe ao menos um c em (2,4) tal que f\text{(c)}=0.

Resposta

Um intervalo que contém uma raiz de f é (2,4).

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