Resolva as recorrências a seguir:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a recorrência não-homogênea
com
e
. Vamos usar o método padrão para recorrências lineares de coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o termo
e por fim determinamos as constantes usando as condições iniciais.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Logo a solução geral homogênea é
Passo 3
Para um particular de
separamos em dois casos:
-
Para o termo
, como não é raiz da característica, tentamos Substituindo na recorrência: -
Para o termo constante
, como não é raiz, tentamos Substituindo:
Logo um particular é
Passo 4
A solução geral é
Usamos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda vem
e, em seguida,
.
Portanto a solução final é