Resolva as recorrências a seguir:
x_{n+2}-4 x_{n+1}+4 x_{n}=5^{n}-1 ; x_{1}=2 e x_{2}=8.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência não-homogênea
x_{n+2} - 4x_{n+1} + 4x_n = 5^n - 1,
com x_1 = 2 e x_2 = 8. Vamos usar o método padrão para recorrências lineares de coeficientes constantes: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea, depois um particular para o termo 5^n - 1 e por fim determinamos as constantes usando as condições iniciais.

Passo 2

A parte homogênea é
x_{n+2} - 4x_{n+1} + 4x_n = 0.
A equação característica é
r^2 - 4r + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r-2)^2 = 0,
ou seja, raiz dupla r=2. Logo a solução geral homogênea é
x_n^{(h)} = A\cdot 2^n + B\,n\,2^n.

Passo 3

Para um particular de
5^n - 1
separamos em dois casos:
  1. Para o termo 5^n, como 5 não é raiz da característica, tentamos
    U_n = C\cdot 5^n.
    Substituindo na recorrência:
    C\,5^{n+2} - 4C\,5^{n+1} + 4C\,5^n = C\,5^n\bigl(25 - 20 + 4\bigr) = 9C\,5^n \overset{!}{=} 5^n \quad\Longrightarrow\quad C = \tfrac{1}{9}.
  2. Para o termo constante -1, como 1 não é raiz, tentamos
    V_n = D.
    Substituindo:
    D - 4D + 4D = D \overset{!}{=} -1 \quad\Longrightarrow\quad D = -1.
Logo um particular é
x_n^{(p)} = \tfrac{1}{9}\,5^n - 1.

Passo 4

A solução geral é
x_n = A\,2^n + B\,n\,2^n + \tfrac{1}{9}\,5^n - 1.
Usamos x_1 = 2 e x_2 = 8:
Para n=1:
2 = A\cdot 2 + B\cdot1\cdot2 + \tfrac{5}{9} - 1 \;\Longrightarrow\; 2A + 2B + \tfrac{5}{9} - 1 = 2 \;\Longrightarrow\; 2A + 2B = \tfrac{22}{9} \;\Longrightarrow\; A + B = \tfrac{11}{9}.
Para n=2:
8 = A\cdot 4 + B\cdot2\cdot4 + \tfrac{25}{9} - 1 \;\Longrightarrow\; 4A + 8B + \tfrac{25}{9} - 1 = 8 \;\Longrightarrow\; 4A + 8B = \tfrac{56}{9} \;\Longrightarrow\; A + 2B = \tfrac{14}{9}.

Passo 5

Resolvendo o sistema
\begin{cases} A + B = \tfrac{11}{9},\\\ A + 2B = \tfrac{14}{9}, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda vem B = \tfrac{1}{3} e, em seguida, A = \tfrac{8}{9}.
Portanto a solução final é
x_n = \frac{8}{9}\,2^n + \frac{1}{3}\,n\,2^n + \frac{1}{9}\,5^n - 1.

Resposta

x_n = \frac{8}{9}\,2^n + \frac{1}{3}\,n\,2^n + \frac{1}{9}\,5^n - 1.

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